Apertura numeryczna

Apertura numeryczna (dla przyrządów optycznych zwykle apertura liczbowa), NA (od ang. numerical aperture) – wielkość fizyczna definiowana dla światłowodu jako sinus kąta stożka akceptacji, to znaczy maksymalnego kąta w stosunku do osi rdzenia włókna, pod którym światło wprowadzone do światłowodu nie będzie z tego włókna uciekać (z powodu niezachowania warunku dla całkowitego wewnętrznego odbicia). Dla przyrządu optycznego jest to sinus maksymalnego kąta, pod jakim fala może na niego padać lub z niego wychodzić.

Przyrządy optyczne

Dla przyrządów optycznych, na przykład soczewki lub obiektywu mikroskopu, apertura liczbowa opisana jest wzorem:

${\displaystyle NA=n\sin \theta ,}$

gdzie:

${\displaystyle n}$ – współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się przyrząd,

${\displaystyle \theta }$ – połowa maksymalnego kąta, pod którym światło może padać z punktu na przyrząd.

W mikroskopie apertura liczbowa ogranicza możliwą do otrzymania rozdzielczość. Żeby zwiększyć tę wartość, między próbkę a obiektyw wprowadza się ciecz imersyjną o dużym współczynniku załamania, aby apertura była większa niż 1^[1].

Światłowody

W światłowodzie wielomodowym propagowane jest tylko światło, które zostało do niego wprowadzone pod odpowiednim kątem, nieprzekraczającym kąta akceptacji ${\displaystyle \theta _{max}.}$ Dla światłowodu o skokowym profilu współczynnika załamania kąt akceptacji wyraża się wzorem:

${\displaystyle n\sin \theta _{\mathrm {max} }={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}},}$

gdzie:

${\displaystyle n_{1}}$ – współczynnik załamania w rdzeniu,

${\displaystyle n_{2}}$ – współczynnik załamania w płaszczu,

${\displaystyle n}$ – współczynnik załamania ośrodka, z którego wprowadzane jest światło.

Prawo Snelliusa na granicy ośrodek-rdzeń przybiera postać:

${\displaystyle n\sin \theta _{i}=n_{1}\sin \theta _{r}.}$

Z trygonometrii wynika zależność (patrz rysunek obok):

${\displaystyle \sin \theta _{r}=\sin(90^{\circ }-\theta _{c})=\cos \theta _{c},}$

gdzie ${\displaystyle \theta _{c}=\arcsin \left({\tfrac {n_{2}}{n_{1}}}\right)}$ to kąt graniczny dla całkowitego wewnętrznego odbicia.

Podstawiając za ${\displaystyle \sin \theta _{r}}$ w prawie Snelliusa otrzymuje się:

${\displaystyle {\frac {n}{n_{1}}}\sin \theta _{i}=\cos \theta _{c}.}$

Po podniesieniu obu stron równania do kwadratu:

${\displaystyle {\frac {n^{2}}{n_{1}^{2}}}\sin ^{2}\theta _{i}=\cos ^{2}\theta _{c}=1-\sin ^{2}\theta _{c}=1-{\frac {n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}},}$

zatem:

${\displaystyle n\sin \theta _{i}={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}.}$

Ze względu na podobieństwo do wyrażenia na aperturę liczbową dla przyrządów optycznych, aperturę numeryczną zwykło się definiować następująco:

${\displaystyle NA={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}.}$

Jako że często przyjmuje się założenie, że ośrodkiem wokół światłowodu jest powietrze o współczynniku załamania ${\displaystyle n}$ równym 1, wyrażenie sprowadza się do:

${\displaystyle NA=\sin \theta _{i}={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}.}$

Przykładowe wartości apertury numerycznej i kąta akceptacji światłowodu

Im większa apertura numeryczna, tym większą część światła można wprowadzić do wnętrza światłowodu (włókno wykazuje większą przydatność jako światłowód wielomodowy).

Przypisy