Funkcja jednorodna

Funkcja jednorodna – funkcja o multiplikatywnym zachowaniu skalującym: jeżeli argument został pomnożony przez pewien współczynnik, to wynik zostanie pomnożony przez pewną potęgę tego współczynnika. Własności funkcji jednorodnych stopnia n {\displaystyle n} używa się do rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych zwyczajnych. Pojęcie funkcji jednorodnej uogólnia się bez zmian na moduły nad pierścieniami, w tym grupy abelowe (czyli moduły nad pierścieniem liczb całkowitych).

Definicja

Niech X , Y {\displaystyle X,Y} będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K . {\displaystyle K.} Funkcja f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} nazwana zostanie jednorodną (stopnia 1), jeżeli dla dowolnych a ∈ K {\displaystyle a\in K} oraz x ∈ X {\displaystyle \mathbf {x} \in X} zachodzi

f ( a x ) = a f ( x ) . {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}

Jeżeli dla a > 0 {\displaystyle a>0} oraz n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } zachodzi wzór

f ( a x ) = a n f ( x ) , {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{n}f(\mathbf {x} ),}

to funkcję f {\displaystyle f} nazywa się jednorodną stopnia n {\displaystyle n}

Jeśli funkcja f {\displaystyle f} spełnia dla każdego x ∈ X {\displaystyle \mathbf {x} \in X} oraz a ∈ K , {\displaystyle a\in K,} gdzie K {\displaystyle K} jest ciałem uporządkowanym, warunek

f ( a x ) = | a | f ( x ) , {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=|a|f(\mathbf {x} ),}

to nazywa się ją dodatnio jednorodną.

Przykłady

  • Przykładem funkcji jednorodnej jest dowolne przekształcenie liniowe (wprost z definicji), np. f ( x ) = 3 x , {\displaystyle f(\mathbf {x} )=3\mathbf {x} ,} ponieważ f ( a x ) = 3 ( a x ) = a ( 3 x ) = a f ( x ) . {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=3(a\mathbf {x} )=a(3\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}
  • Traktując wyznacznik det n {\displaystyle \det \nolimits _{n}} jako funkcję macierzy kwadratowych ustalonego stopnia n {\displaystyle n} otrzymuje się det n ( a A ) = a n det n ( A ) , {\displaystyle \det \nolimits _{n}(a\mathbf {A} )=a^{n}\det \nolimits _{n}(\mathbf {A} ),} gdzie A {\displaystyle \mathbf {A} } jest dowolną macierzą kwadratową stopnia n {\displaystyle n} [a].
  • Dla dowolnej normy ‖ ⋅ ‖ , {\displaystyle \|{\cdot }\|,} (a nawet półnormy) wprost z definicji zachodzi tożsamość ‖ a x ‖ = | a | ‖ x ‖ . {\displaystyle \|a\mathbf {x} \|=|a|\,\|\mathbf {x} \|.}

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ Również dla a ⩽ 0 , {\displaystyle a\leqslant 0,} co wynika z n {\displaystyle n} -liniowości wyznacznika det n ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle \det \nolimits _{n}(\mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n})} traktowanego jako funkcja n {\displaystyle n} wektorów a 1 , … , a n {\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{n}} należących do przestrzeni liniowej wymiaru n . {\displaystyle n.}