Funkcja meromorficzna

Funkcja meromorficzna – funkcja ${\displaystyle f,}$ określona na otwartym podzbiorze ${\displaystyle D}$ płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze ${\displaystyle D\setminus S,}$ gdzie ${\displaystyle S}$ oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji ${\displaystyle f}$^[1].

Twierdzenia

Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

${\displaystyle f(z)={\frac {h_{1}(z)}{h_{2}(z)}},}$

przy czym funkcja ${\displaystyle h_{2}}$ nie może być stale równa ${\displaystyle 0.}$ Zbiór biegunów ${\displaystyle S}$ jest zbiorem zer funkcji ${\displaystyle h_{2}.}$

Tw. 2 Jeżeli zbiór ${\displaystyle D}$ jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w ${\displaystyle D}$).

Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {P} _{1},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}}$ oznacza sferę Riemanna, nazywana okresem funkcji${\displaystyle \infty .}$

Twierdzenia cd.

• Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna.
• Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne, są funkcjami meromorficznymi.
• Funkcja Γ (Gamma), funkcja ζ (dzeta Riemanna) są meromorficzne.
• Funkcje eliptyczne są „dwuokresowymi” funkcjami meromorficznymi określonymi na ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, są niezmiennicze na działanie grupy modularnej; w szczególności istnieje tzw. niezmiennik j.
• ${\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{\sin(z)}}}$ jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach.

Przypisy

Bibliografia

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.brak strony w książce