Kresy dolny i górny

Kres (kraniec) dolny, infimum (łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych

Definicje

Niech ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru ${\displaystyle A}$ nazywamy liczbę ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ spełniającą:

${\displaystyle s\geqslant a}$ dla wszystkich elementów ${\displaystyle a\in A.}$

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru ${\displaystyle A}$ nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ spełniającą:

• ${\displaystyle s}$ jest ograniczeniem górnym zbioru ${\displaystyle A;}$
• jeśli ${\displaystyle s'\in \mathbb {R} }$ jest ograniczeniem górnym zbioru ${\displaystyle A,}$ to ${\displaystyle s\leqslant s'.}$

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru^[1].

Kres górny zbioru ${\displaystyle A}$ oznaczamy ${\displaystyle \sup(A),}$ kres dolny ${\displaystyle \inf(A).}$

Zapisy ${\displaystyle \inf(A)=-\infty }$ oraz ${\displaystyle \sup(A)=\infty }$ oznaczają, że ${\displaystyle A}$ jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności

• Każdy niepusty podzbiór ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
• Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
• Przypuśćmy, że ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ jest niepustym zbiorem oraz ${\displaystyle s\in \mathbb {R} ,}$ wówczas

  ${\displaystyle s=\sup(A)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\leqslant s}$ oraz ${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{a\in A}\;a>s-\varepsilon ;}$

  ${\displaystyle s=\inf(A)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\geqslant s}$ oraz ${\displaystyle \forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{a\in A}\;s+\varepsilon >a.}$

• Jeżeli ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ oraz oznaczymy ${\displaystyle -A:=\{x\in \mathbb {R} :-x\in A\},}$ to:

  ${\displaystyle \inf(-A)=-\sup(A),}$

  ${\displaystyle \sup(-A)=-\inf(A).}$

Przykłady

• Niech ${\displaystyle A=[0,3].}$ Wówczas:

${\displaystyle \inf(A)=0,}$ ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.

${\displaystyle \sup(A)=3,}$ ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.

• Niech ${\displaystyle B=(0,3).}$ Wówczas:

${\displaystyle \inf(B)=0,}$ bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.

${\displaystyle \sup(B)=3,}$ bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.

• Niech ${\displaystyle C=\{0,1,3\}.}$ Wówczas podobnie jak dla zbioru ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \inf(C)=0}$ oraz ${\displaystyle \sup(C)=3.}$
• Niech ${\displaystyle D=\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {5}{6}},\dots \}.}$ Wówczas:

${\displaystyle \sup(D)=1,}$ gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.

• Niech ${\displaystyle E=\emptyset .}$ Wówczas:

${\displaystyle \inf(E)=\infty ,\quad \sup(E)=-\infty ,}$  bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

Definicje

Niech ${\displaystyle (X,\sqsubseteq )}$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech ${\displaystyle A\subseteq X.}$ Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element ${\displaystyle s\in X}$ nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru ${\displaystyle A,}$ jeśli:

${\displaystyle \forall _{a\in A}\;a\sqsubseteq s.}$

Element ${\displaystyle s\in X}$ nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru ${\displaystyle A,}$ jeśli:

${\displaystyle \forall _{a\in A}\;s\sqsubseteq a.}$

Element ${\displaystyle s\in X}$ jest kresem górnym (supremum) zbioru ${\displaystyle A,}$ jeśli ${\displaystyle s}$ jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych ${\displaystyle A,}$ tzn.

${\displaystyle s}$ jest ograniczeniem górnym zbioru ${\displaystyle A;}$

jeśli ${\displaystyle s'\in X}$ jest ograniczeniem górnym zbioru ${\displaystyle A,}$ to ${\displaystyle s\sqsubseteq s'.}$

Element ${\displaystyle s\in X}$ jest kresem dolnym (infimum) zbioru ${\displaystyle A,}$ jeśli ${\displaystyle s}$ jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych ${\displaystyle A,}$ tzn.

${\displaystyle s}$ jest ograniczeniem dolnym zbioru ${\displaystyle A;}$

jeśli ${\displaystyle s'\in X}$ jest ograniczeniem dolnym zbioru ${\displaystyle A,}$ to ${\displaystyle s'\sqsubseteq s.}$

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór ${\displaystyle X}$ ma kres górny, to porządek ${\displaystyle (X,\sqsubseteq )}$ nazywa się zupełnym.

Własności

• Każdy element zbioru ${\displaystyle X}$ jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru ${\displaystyle X,}$ a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru ${\displaystyle X}$ (o ile takie istnieją w zbiorze ${\displaystyle X}$).
• Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia ${\displaystyle \inf(A)}$ i ${\displaystyle \sup(A)}$ odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru ${\displaystyle A}$ są jednoznaczne.
• Jeśli ${\displaystyle (X,\sqsubseteq )}$ jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy ${\displaystyle (Y,\leqslant )}$ taki że ${\displaystyle X\subseteq Y}$ i obcięcie ${\displaystyle \leqslant \upharpoonright X}$ zgadza się z ${\displaystyle \sqsubseteq ,}$ oraz ${\displaystyle X}$ jest gęstym podzbiorem ${\displaystyle Y.}$ Porządek ${\displaystyle (Y,\leqslant )}$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
• Jeśli ${\displaystyle (X,\sqsubseteq )}$ jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór ${\displaystyle X}$ ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór ${\displaystyle X}$ ma kres dolny.

Przykłady

• Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ z porządkiem naturalnym i zbiór ${\displaystyle A=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\},}$ to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
  Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać ${\displaystyle (-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})\cap \mathbb {Q} }$ i ma oba kresy.
• Niech ${\displaystyle X=(1,2)\cup (3,4)}$ będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ${\displaystyle (1,2)}$ nie ma w zbiorze ${\displaystyle X}$ kresu górnego, bowiem ${\displaystyle (3,4)}$ jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru ${\displaystyle (1,2),}$ ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór ${\displaystyle (3,4)}$ nie ma w zbiorze ${\displaystyle X}$ kresu dolnego.
• Niech ${\displaystyle X=(1,2]\cup (3,4]}$ będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór ${\displaystyle (1,2]}$ ma w zbiorze ${\displaystyle X}$ kres górny ${\displaystyle 2,}$ podzbiór ${\displaystyle (3,4]}$ ma w zbiorze ${\displaystyle X}$ kres dolny ${\displaystyle 2.}$
• Niech ${\displaystyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,0,1)}$ będzie algebrą Boole’a i niech ${\displaystyle \leqslant }$ będzie porządkiem boole’owskim na ${\displaystyle \mathbb {B} }$ (tzn. dla ${\displaystyle a\leqslant b}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle a\cdot b=a}$).
  • Kres górny niepustego zbioru ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {B} }$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez ${\displaystyle \sum A}$ i bywa nazywany sumą zbioru ${\displaystyle A}$. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski ${\displaystyle \leqslant }$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
  • Kres dolny niepustego zbioru ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {B} }$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez ${\displaystyle \prod A}$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru ${\displaystyle A}$. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} {:}}$

    każdy niepusty podzbiór ${\displaystyle \mathbb {B} }$ ma kres górny (tzn. sumę),

    każdy niepusty podzbiór ${\displaystyle \mathbb {B} }$ ma kres dolny (tzn. produkt).

  • Warto też zauważyć, że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli ${\displaystyle \varnothing \neq A\subseteq \mathbb {B} ,}$ to

    ${\displaystyle \sum A=\sim \prod \{\sim a:a\in A\}}$ oraz ${\displaystyle \prod A=\sim \sum \{\sim a:a\in A\}.}$

Zobacz też

• elementy minimalny i maksymalny
• elementy najmniejszy i największy

Przypisy

Bibliografia

• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 112–122, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, s. 59–61. ISBN 83-01-00756-7.