Krzywa Jordana

Krzywa Jordana – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie[1]. Funkcjonuje też nieco słabsza definicja:

Odwzorowanie ciągłe przedziału ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} w płaszczyznę nazywa się krzywą γ {\displaystyle \gamma } na płaszczyźnie. Jeśli γ ( α ) = γ ( β ) , {\displaystyle \gamma (\alpha )=\gamma (\beta ),} to tę krzywą nazywa się zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale { t : α < t < β } , {\displaystyle \{t:\alpha <t<\beta \},} nazywana jest ona krzywą Jordana.

W praktyce krzywą Jordana nazywa się też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem[2].

Twierdzenia

Który z zaznaczonych punktów należy do wnętrza wielokąta?

Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń.

Twierdzenie o krzywej Jordana
Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiem[1].

Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych w żadnym punkcie niegładkich jest to zadanie trudne. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.

Twierdzenie Jordana-Schönfliesa
Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tę krzywą na okrąg[3].
Twierdzenie Jordana-Brouwera
Każda n−1-wymiarowa sfera zanurzona w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszary[4].

Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla n {\displaystyle n} wymiarów – istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

  • Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: WNT, 1981. ISBN 83-204-0239-5.
  • Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962.
  • Witold Hurewicz, Henry Wallman: Teoria wymiaru (tłum. ros.). Moskwa: ГИИЛ, 1945.

Linki zewnętrzne

  • Grant Sanderson, Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem), 3blue1brown, YouTube, [dostęp 2021-03-15] – materiał o problemie prostokątów wpisanych w krzywe Jordana.