Przestrzeń zupełna

Ten artykuł dotyczy przestrzeni metrycznych/metryzowalnych. Zobacz też: przestrzeń topologicznie zupełna.

Przestrzeń metryczna zupełna – przestrzeń metryczna o takiej własności, że każdy ciąg Cauchy’ego utworzony z punktów tej przestrzeni ma granicę w punkcie należącym do tej przestrzeni[1].

Przestrzeń nazywa się niezupełną, jeśli istnieje choć jeden ciąg utworzony z punktów tej przestrzeni, którego granica nie należy do tej przestrzeni. Np. przestrzeń liczb wymiernych z metryką euklidesową ( Q , d e ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{e})} nie jest zupełna, gdyż np. można utworzyć ciąg liczb wymiernych, który jest zbieżny do liczby 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , która jest niewymierna (patrz przykłady poniżej). Przestrzeń niezupełną można uzupełnić o „brakujące” punkty tak, aby stała się zupełna. Np. zbiór liczb wymiernych uzupełniony o „brakujące” punkty staje się zbiorem liczb rzeczywistych.

Pojęcie zupełności wymaga istnienia metryki, pozwalającej określać granice ciągów – dlatego można je definiować tylko dla przestrzeni metrycznych. W szerszej klasie przestrzeni topologicznych, w ogólności niemetryzowalnych, wprowadza się analogiczne pojęcie zwartości przestrzeni.

Przykłady

Przestrzenie zupełne

  1. Przestrzenie euklidesowe ( R n , d e ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{e})} n-wymiarowe z metryką euklidesową są przestrzeniami zupełnymi.
  2. Dowolny zbiór z topologią dyskretną jest przestrzenią metryzowalną w sposób zupełny przez metrykę dyskretną.
  3. Z definicji przestrzenie Banacha są przestrzeniami unormowanymi, które są zupełne.
  4. Szerszą klasą zupełnych przestrzeni liniowo-metrycznych są F-przestrzenie.

Przestrzenie niezupełne

  1. Dowolny przedział otwarty jedno- lub dwustronnie z metryką euklidesową nie jest zupełny. Np. przedział ( 0 , 2 ] {\displaystyle (0,2]} nie jest zupełny, gdyż np. ciąg a n = 1 n {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}} jest ciągiem Cauchy’ego w nim zawartym, ale jego granica = 0 nie należy do tego przedziału.
  2. Zbiór liczb wymiernych Q {\displaystyle \mathbb {Q} } nie jest zupełny, gdyż np.
    • ciąg x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} oraz x n + 1 = x n 2 + 1 x n , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}},n=1,2,3,\dots } jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = 2 , {\displaystyle {\sqrt {2}},}
    • ciąg x n = ∑ k = 0 n 1 k ! , {\displaystyle x_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}},} n = 0 , 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=0,1,2,3,\dots } jest ciągiem Cauchy’ego liczb wymiernych, ale jego granicą jest liczba niewymierna = e {\displaystyle e} (liczba Nepera).

Zupełność jako niezmiennik

Tw. 1 Zupełność jest niezmiennikiem metrycznym, tzn. jest zachowywana przy izometriach.

Tw. 2 Zupełność nie jest niezmiennikiem topologicznym.

Np. zbiór liczb rzeczywistych ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} oraz dowolny przedział obustronnie otwarty ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} są przestrzeniami wzajemnie homeomorficznymi (więc są to przestrzenie topologicznie nieodróżnialne); z drugiej strony zbiór liczb rzeczywistych jest przestrzenią zupełną, zaś przedział otwarty ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} nie jest.

Dalsze własności

Tw. 3 (Cantora) Przestrzeń jest zupełna ⟺ {\displaystyle \iff } każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych o średnicach dążących do zera ma niepuste przecięcie.

Tw. 4 W przestrzeni metrycznej zupełnej przeliczalna suma domkniętych zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym.

Tw. 5 Przestrzeń metryczna jest zupełna i całkowicie ograniczona ⟺ {\displaystyle \iff } przestrzeń metryczna jest zwarta.

Tw. 6 Każda przestrzeń metryczna zupełna jest zupełna w sensie Čecha.

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Twierdzenie Hausdorffa

Tw. Hausdorffa (o uzupełnieniu przestrzeni metrycznej)

  1. Dla każdej przestrzeni metrycznej ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} istnieje przestrzeń metryczna zupełna ( X ~ , d ~ ) {\displaystyle {\big (}{\tilde {X}},{\tilde {d}}{\big )}} oraz zanurzenie izometryczne f : X → X ~ , {\displaystyle f\colon X\to {\tilde {X}},} dla którego f ( X ) {\displaystyle f(X)} jest gęstą podprzestrzenią X ~ . {\displaystyle {\tilde {X}}.} Przestrzeń ( X ~ , d ~ ) {\displaystyle {\big (}{\tilde {X}},{\tilde {d}}{\big )}} nazywa się uzupełnieniem przestrzeni ( X , d ) . {\displaystyle (X,d).}
  2. Ponadto jeśli ( Y , ρ ) {\displaystyle (Y,\rho )} jest przestrzenią zupełną oraz istnieje izometryczne zanurzenie g : X → Y , {\displaystyle g\colon X\to Y,} dla którego g ( X ) {\displaystyle g(X)} jest gęstą podprzestrzenią Y , {\displaystyle Y,} to Y {\displaystyle Y} i X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} są izometryczne.

Innymi słowy:

  • Każda przestrzeń metryczna ma jedyne uzupełnienie – z dokładnością do izometrii.
 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ I. Przestrzenie metryczne. W: Janina Wolska-Bochenek, Andrzej Borzymowski, Jerzy Chmaj, Magdalena Tryjarska: Zarys teorii równań całkowych i równań różniczkowych cząstkowych. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981. ISBN 83-01-01693-0.

Bibliografia

  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.