Rozmaitość różniczkowalna

Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem rozmaitość różniczkowa. Nie opisano powodu propozycji integracji.

Przestrzeń topologiczną ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n},n=0,1,\dots ,}$ nazywamy rozmaitością ${\displaystyle n}$-wymiarową, jeśli dla każdego punktu ${\displaystyle x\in \mathbb {X} ^{n}}$ istnieje otwarte i spójne otoczenie ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle x\in U\subset \mathbb {X} ^{n},}$ oraz homeomorfizm ${\displaystyle \phi \colon U\to \phi (U)}$ tego otoczenia ${\displaystyle U}$ na otwarty zbiór ${\displaystyle \phi (U)}$ przestrzeni wektorowej n-wymiarowej ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nad ciałem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ liczb rzeczywistych. Homeomorfizm taki nazywamy mapą rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}.}$ Rodzina ${\displaystyle \Phi =\{\phi _{l}\}_{l\in I}}$ map nazywa się atlasem rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n},}$ gdy dziedziny ${\displaystyle U_{l}}$ homeomorfizmów ${\displaystyle \phi _{l}}$ pokrywają rozmaitość ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}{:}}$

${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}=\bigcup _{l\in I}U_{l}.}$

(1)

Zbiór wszystkich map rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}}$ nazywamy atlasem zupełnym ${\displaystyle \Phi _{0}}$ rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}.}$ Zawsze będziemy zakładali, że dla ${\displaystyle l\neq \chi }$ również ${\displaystyle \phi _{l}\neq \phi _{\chi };}$ tak więc każdy atlas można uważać za podzbiór atlasu ${\displaystyle \Phi _{0},}$ natomiast wskaźniki służą jedynie do rozróżniania map.

Dopuszczenie przypadku ${\displaystyle n=0}$ jest celowe. Każda dyskretna przestrzeń topologiczna jest rozmaitością zerowymiarową.

Niech ${\displaystyle a_{i},}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n,}$ będzie bazą ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ którą używamy jako ustaloną raz na zawsze. Każdy wektor ${\displaystyle \kappa \in \mathbb {R} ^{n}}$ można utożsamić z uporządkowanym ${\displaystyle n}$-elementowym ciągiem ${\displaystyle (\xi ^{i})}$ jego współrzędnych względem bazy ${\displaystyle a_{i}.}$ Dla mapy ${\displaystyle \phi \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$ otrzymujemy w tej bazie następujący opis:

${\displaystyle \phi \colon x\in U\to \phi (x)=x^{i}(x)a_{i}\in \mathbb {R} ^{n},}$

(2)

który każdemu punktowi ${\displaystyle x\in U}$ przyporządkowuje uporządkowany ciąg ${\displaystyle n}$ liczb rzeczywistych ${\displaystyle (x^{i}(x)),}$ czyli tzw. współrzędnych punktu ${\displaystyle x}$ względem mapy ${\displaystyle \phi .}$

Rozważmy dwie mapy ${\displaystyle \phi _{l},}$ ${\displaystyle \phi _{\chi }}$ rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n},}$ dla których przekrój ${\displaystyle U_{l}\cap U_{\chi }\neq \emptyset .}$ Wtedy punktowi ${\displaystyle x\in U_{l}\cap U_{\chi }}$ odpowiadają współrzędne ${\displaystyle x^{i}(x)}$ w mapie ${\displaystyle \phi _{l}}$ oraz ${\displaystyle x^{i'}(x)}$ w mapie ${\displaystyle \phi _{\chi }.}$ Oba te układy współrzędnych na przekroju ${\displaystyle U_{l}\cap U_{\chi }}$ wzajemnie wiąże przekształcenie współrzędnych:

${\displaystyle \phi _{\chi l}\colon (x^{i})\in \phi _{l}(U_{l}\cap U_{\chi })\to (x^{i'})=\phi _{\chi }\circ \phi _{l}^{-1}(x^{i})\in \phi _{\chi }(U_{l}\cap U_{\chi }).}$

(3)

Samo ${\displaystyle \phi _{\chi l}}$ jako złożenie homeomorfizmów jest również homeomorfizmem zbiorów otwartych przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Przechodząc do współrzędnych ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ w bazie ${\displaystyle a_{i}}$ zapisujemy ${\displaystyle \phi _{\chi l}}$ za pomocą układu ${\displaystyle n}$ funkcji rzeczywistych ${\displaystyle n}$ zmiennych

${\displaystyle x^{i'}=x^{i'}(x^{i}).}$

(4)

Każdemu atlasowi odpowiada zbiór przekształceń współrzędnych ${\displaystyle \{\phi _{\chi l}\},}$ dla którego zachodzi

${\displaystyle \phi _{l\chi }=\phi _{\chi l}^{-1},\qquad U_{l}\cap U_{\chi }\neq \emptyset ),}$

(5)

${\displaystyle \phi _{\lambda l}=\phi _{\lambda \chi }\circ \phi _{\chi l},\qquad U_{\lambda }\cap U_{\chi }\cap U_{l}\neq \emptyset ).}$

(6)

Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {X} ^{n}\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją o wartościach rzeczywistych, określoną dla rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}.}$ Każdej mapie ${\displaystyle \phi _{l}}$ jest przyporządkowane odpowiednie przedstawienie ${\displaystyle f_{l}}$ funkcji ${\displaystyle f}$ w tej mapie

${\displaystyle (x^{i})\in \phi _{l}(U_{l})\to f_{l}(x^{i})=f\circ \phi _{l}^{-1}(x^{i})\in \mathbb {R} .}$

(7)

Dla ${\displaystyle x\in U_{l}\cap U_{\chi }}$ mamy dwa przedstawienia ${\displaystyle f_{l}(x^{i}),}$ ${\displaystyle f_{\chi }(x^{i'})}$ funkcji ${\displaystyle f}$ w mapach ${\displaystyle \phi _{l},}$ ${\displaystyle \phi _{\chi },}$ które wiąże wzajemnie reguła transformacyjna

${\displaystyle f_{\chi }(x^{i'})=f_{l}\circ \phi _{l\chi }(x^{i'}),(x^{i'})\in \phi _{\chi }(U_{l}\cap U_{\chi }).}$

(8)

Zatem każdej funkcji rzeczywistej ${\displaystyle f}$ odpowiada rodzina ${\displaystyle \{f_{l}\}_{l\in I}}$ jej przedstawień w mapach; odwrotnie, gdy dana jest rodzina ${\displaystyle \{f_{l}\}_{l\in I}}$ funkcji rzeczywistych ${\displaystyle n}$ zmiennych rzeczywistych ${\displaystyle (x^{i})\in \phi _{l}(U_{l}),}$ dla której zachodzi (7), wtedy przyjmując ${\displaystyle f(x)=f_{l}\circ \phi _{l}(x),x\in U_{l}}$ otrzymamy poprawnie określoną funkcję rzeczywistą na rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}.}$ Niech ${\displaystyle x\in U_{l}\cap U_{\chi },}$ wtedy na mocy (3), (8) będzie

${\displaystyle f_{\chi }\circ \phi _{\chi }=f_{l}\circ \phi _{l\chi }\circ \phi _{\chi }=f_{l}\circ \phi _{l}}$

(9)

tak, że definicja funkcji ${\displaystyle f(x)}$ nie zależy od wyboru mapy ${\displaystyle \phi _{l}}$ ${\displaystyle (x\in U_{l}).}$

Zauważmy od razu ${\displaystyle f}$ jest ciągła na ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej przedstawienia ${\displaystyle f_{l}}$ w mapach są funkcjami ciągłymi.

Analogicznie będziemy także badać różniczkowalność funkcji ${\displaystyle f}$ na ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}}$ za pomocą jej przedstawień w mapach niech ${\displaystyle x_{0}\in U_{l};}$ można powiedzieć, że ${\displaystyle f}$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle x_{0},}$ gdy ${\displaystyle f_{l}}$ jest różniczkowalna w punkcie ${\displaystyle (x_{0}^{i})=\phi _{l}(x_{0})\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Dla ${\displaystyle x_{0}\in U_{l}\cap U_{\chi }}$ nie wynika na ogół z (8) różniczkowalność ${\displaystyle f_{\chi }}$ w punkcie ${\displaystyle (x_{0}^{i'})=\phi _{\chi }(x_{0}),}$ bo wprawdzie przekształcenia współrzędnych ${\displaystyle \phi _{l\chi }}$ są homeomorfizmami, lecz wcale nie muszą być różniczkowalne. Jeśli pojęcie różniczkowalności ma mieć sens niezależny od mapy, czyli od wyboru układu współrzędnych, trzeba zawęzić pojęcie rozmaitości i zażądać, aby wszystkie przekształcenia współrzędnych ${\displaystyle \phi _{l\chi }}$ były dostatecznie wiele razy różniczkowalne w sposób ciągły. Wtedy różniczkowalność ${\displaystyle f_{\chi }}$ będzie wynikała z różniczkowalności ${\displaystyle f_{l}}$ oraz ${\displaystyle \phi _{l\chi }}$ na mocy (8) i reguły łańcuchowej dla pochodnych funkcji złożonych.

Przykłady

1. Przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{n})}$ jest ${\displaystyle n}$-krotnym iloczynem kartezjańskim prostych liczbowych (względnie płaszczyzn zmiennej zespolonej).
2. Iloczyn ${\displaystyle n}$-krotny okręgu ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ nazywamy ${\displaystyle n}$-wymiarowym torusem ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n};}$ jest to rozmaitość różniczkowalna klasy ${\displaystyle C_{\omega }.}$
3. Niech ${\displaystyle \mathbb {Y} }$ będzie otwartym podzbiorem rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}.}$ Wówczas ograniczenie atlasu ${\displaystyle \Phi }$ tej rozmaitości do podzbioru określa w naturalny sposób strukturę różniczkowalną na ${\displaystyle \mathbb {Y} ,}$ względem której ${\displaystyle \mathbb {Y} }$ jest ${\displaystyle n}$-wymiarową podrozmaitością rozmaitości ${\displaystyle \mathbb {X} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Y} }$ nazywamy podrozmaitością otwartą.
4. Niech ${\displaystyle \mathbb {X} ^{2}}$ oraz ${\displaystyle {\hat {\mathbb {X} }}^{2}}$ będą dwoma egzemplarzami płaszczyzny ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ Utożsamiamy półpłaszczyzny ${\displaystyle y<0,}$ ${\displaystyle {\hat {y}}<0{:}}$ ${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}})\equiv (x,y)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi ${\displaystyle {\hat {x}}=x}$ oraz ${\displaystyle y={\hat {y}}<0.}$ Powstaje wówczas rozmaitość analityczna ${\displaystyle \mathbb {Y} ^{2},}$ która nie jest rozmaitością Hausdorffa. Przykładowo otoczenia punktów ${\displaystyle ({\hat {0}},{\hat {0}})}$ oraz ${\displaystyle (0,0)}$ nigdy nie maja pustego przekroju. Natomiast przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {Y} ^{2}}$ jest przestrzenią ${\displaystyle T_{1}.}$

Zobacz też

• rozmaitość gładka
• rozmaitość różniczkowa