Tensor pola elektromagnetycznego

Tensor pola elektromagnetycznego – tensor opisujący pole elektromagnetyczne.

W teorii względności pole elektryczne i pole magnetyczne nie są opisywane za pomocą niezależnych wektorów w trójwymiarowej przestrzeni, lecz są składowymi czterowymiarowego antysymetrycznego tensora drugiego rzędu nazwanego tensorem pola elektromagnetycznego.

Według teorii względności nie istnieją bowiem oddzielnie pole elektryczne, a oddzielnie magnetyczne, ale są one przejawem jednego pola elektromagnetycznego, które może być różnie doświadczane w zależności od prędkości układu odniesienia względem źródła pola.

Tensor pola elektromagnetycznego

(1) Tensor ten definiuje się za pomocą pochodnych czteropotencjału po współrzędnych przestrzennych. W płaskiej czasoprzestrzeni, przyjmując sygnaturę tensora metrycznego w postaci (+,-,-,-), tensor pola elektromagnetycznego ma postać

F μ ν = ∂ A μ ∂ x ν − ∂ A ν ∂ x μ {\displaystyle F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}}

gdzie μ , ν = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3}

Powyższy wzór definiuje każdą z 16-tu współrzędnych F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }} tensora. W skróconej symbolice definicja powyższa ma postać

F μ ν = ∂ ν A μ − ∂ μ A ν {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A_{\nu }} lub F μ ν = A μ , ν − A ν , μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }}

(2) Explicite tensor ten ma postać

F μ ν = ( 0 E 1 c E 2 c E 3 c − E 1 c 0 − B 3 B 2 − E 2 c B 3 0 − B 1 − E 3 c − B 2 B 1 0 ) {\displaystyle F_{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}0&{\frac {E_{1}}{c}}&{\frac {E_{2}}{c}}&{\frac {E_{3}}{c}}\\-{\frac {E_{1}}{c}}&0&-B_{3}&B_{2}\\-{\frac {E_{2}}{c}}&B_{3}&0&-B_{1}\\-{\frac {E_{3}}{c}}&-B_{2}&B_{1}&0\end{matrix}}\right)}

gdzie

E 1 , E 2 , E 3 {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}} – współrzędne wektora pola elektrycznego
B 1 , B 2 , B 3 {\displaystyle B_{1},B_{2},B_{3}} – współrzędne wektora pola magnetycznego
c {\displaystyle c} – prędkość światła

(3) Tensor ten jest antysymetryczny, tzn. przy przestawieniu indeksów jego współrzędne zmieniają znak

F μ ν = − F ν μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=-F_{\nu \mu }}

(4) Analogicznie definiuje się tensor kontrawariantno-kontrawariantny (o górnych wskaźnikach).

Tensor dualny pola elektromagnetycznego

Poprzez podstawienia: E → / c → B → {\displaystyle {\vec {E}}/c\rightarrow {\vec {B}}} oraz B → → − E → / c {\displaystyle {\vec {B}}\rightarrow -{\vec {E}}/c} otrzymuje się tensor dualny pola elektromagnetycznego

G μ ν = [ 0 B x B y B z − B x 0 − E z c E y c − B y E z c 0 − E x c − B z − E y c E x c 0 ] {\displaystyle G^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-{\frac {E_{z}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}\\-B_{y}&{\frac {E_{z}}{c}}&0&-{\frac {E_{x}}{c}}\\-B_{z}&-{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{x}}{c}}&0\end{bmatrix}}}

Zobacz też

Bibliografia

  • David J. Griffiths: Podstawy elektrodynamiki. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006.
  • L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.