Zbiór Julii

Zbiór Julii i zbiór Fatou – dwa komplementarne (tzn. będące swoimi dopełnieniami) zbiory zdefiniowane przez odwzorowanie będące funkcją wymierną^[1]. Nieformalnie, zbiór Fatou funkcji zawiera wartości o takiej właściwości, że w ich bliskim otoczeniu pozostałe wartości zachowują się podobnie po iterowanym przekształcaniu zadaną funkcją, natomiast w zbiorze Julii są te wartości, dla których dowolnie małe zaburzenie może powodować drastyczne zmiany w ciągu iterowanych wartości. Stąd zachowanie funkcji w zbiorze Fatou jest „regularne”, natomiast w zbiorze Julii „chaotyczne”.

Zbiór Julii funkcji ${\displaystyle f}$ jest powszechnie oznaczany jako J(ƒ), a zbiór Fatou jako F(ƒ). Nazwy zbiorów pochodzą od nazwisk francuskich matematyków Gastona Julii i Pierre’a Fatou, którzy w latach 1918–1920^[2] badali własności układów dynamicznych opisanych funkcją wymierną.

Definicja

Niech ${\displaystyle f(z)}$ będzie zespoloną funkcją wymierną odwzorowującą całą płaszczyznę zespoloną na nią samą, tj. ${\displaystyle f(z)=p(z)/q(z),}$ gdzie ${\displaystyle p(z)}$ i ${\displaystyle q(z)}$ są wielomianami zespolonymi. Wtedy istnieje skończona liczba otwartych zbiorów ${\displaystyle F_{i},i=1,\dots ,r,}$ które są niezmiennicze przez ${\displaystyle f(z)}$ i są takie, że:

1. suma zbiorów ${\displaystyle F_{i}}$ jest zbiorem gęstym i
2. ${\displaystyle f(z)}$ zachowuje się w sposób regularny i taki sam w każdym ze zbiorów ${\displaystyle F_{i}.}$

Ostatnie stwierdzenie oznacza, że końce ciągów generowanych iteracyjnie dla punktów ${\displaystyle F_{i}}$ są dokładnie takie same jak w zadanym zbiorze, który jest wtedy skończonym cyklem, albo są skończonym cyklem skończonych lub pierścieniowych kształtów zbiorów leżących koncentrycznie. W pierwszym przypadku cykl jest „przyciągający”, a w drugim „neutralny”.

Zbiory ${\displaystyle F_{i}}$ są dziedziną Fatou funkcji ${\displaystyle f(z),}$ a ich suma jest zbiorem Fatou ${\displaystyle F(f)}$ funkcji ${\displaystyle f(z).}$ Każdy zbiór tworzący dziedzinę Fatou zawiera co najmniej jeden punkt krytyczny ${\displaystyle f(z),}$ tj. (skończony) punkt ${\displaystyle z}$ spełniający ${\displaystyle f'(z)=0,}$ lub ${\displaystyle z=\infty ,}$ jeśli stopień wielomianu licznika ${\displaystyle p(z)}$ jest co najmniej o dwa stopnie wyższy niż stopień wielomianu mianownika ${\displaystyle q(z)}$ lub jeśli ${\displaystyle f(z)=1/g(z)+c}$ dla pewnej stałej ${\displaystyle c}$ i funkcja ${\displaystyle g(z)}$ spełnia ten warunek.

Dopełnienie zbioru ${\displaystyle F(f)}$ nazywa się zbiorem Julii ${\displaystyle J(f)}$ funkcji ${\displaystyle f(z)}$^[3]. Zbiór ${\displaystyle J(f)}$ jest:

• nieprzeliczalny – jego moc jest taka sama jak moc zbioru liczb rzeczywistych,
• nigdzie gęsty – nie zawiera punktów wewnętrznych.

Oba zbiory ${\displaystyle F(f)}$ i ${\displaystyle J(f)}$ są w pełni niezmiennicze^[4].

Wielomiany kwadratowe

Zbiór tworzą te punkty ${\displaystyle p\in \mathbb {C} ,}$ dla których ciąg opisany równaniem rekurencyjnym:

${\displaystyle z_{0}=p,}$

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c}$

nie dąży do nieskończoności:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }z_{n}\neq \infty ,}$

gdzie ${\displaystyle c}$ – liczba zespolona będąca parametrem zbioru.

Można wykazać, że jest to równoważne z:

${\displaystyle \forall _{n\in \mathbb {N} }|z_{n}|<2.}$

Podsumowując jednym zdaniem:

${\displaystyle J(c)=\{p\in \mathbb {C} :\forall _{n\in \mathbb {N} }|z_{n}|<2\}.}$

Dla różnych ${\displaystyle c}$ otrzymuje się różne zbiory, stąd ${\displaystyle J}$ jest rodziną zbiorów.

Własności

Zbiory Julii są ściśle związane ze zbiorem Mandelbrota. Zbiór Julii jest spójny, jeżeli ${\displaystyle c}$ należy do zbioru Mandelbrota^[5]. Jeśli zbiór Julii jest poza zbiorem Mandelbrota, składa się on ze zbioru rozproszonych punktów, taki zbiór nazywany jest pyłem Fatou^[6].

Zobacz też

• współrzędne Fatou

Przypisy

Bibliografia

• Agnijo Banerjee, David Darling: Dziwna matematyka. Helion S.A., 2020. ISBN 83-283-5687-2.
• Jacek Kudrewicz: Fraktale i chaos. Wyd. II. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993, s. 89–101. ISBN 83-204-1676-0.

Linki zewnętrzne

Zobacz galerię związaną z tematem: Zbiór Julii

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Julia Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
• FractalTS Generator zbiorów mandelbrota, płonącego statku oraz odpowiadających zbiorów julii