Derivada logarítmica

Na matemática, especificamente cálculo e análise complexa, a derivada logarítmica de uma função é definida pela fórmula:^[1]

${\displaystyle {\frac {f'}{f}}\!}$, onde ${\displaystyle f'}$ é a derivada de ${\displaystyle f}$

Nestas condições, muitas propriedades básicas do logaritmo também são válidas para essa condição, ainda quando a função não toma valores reais positivos. Algumas destas identidades são:

${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.\!}$

${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!}$

${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!}$

Demonstração da derivada logarítmica

Considerando uma função logarítmica do logaritmo natural ${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$, vamos provar que sua derivada é a ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}$.

Utilizando o conceito de derivada, temos que:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}}$

Uma das propriedades dos logaritmos transforma uma diferença de logaritmos em quociente, assim:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)}$

Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmo fazemos:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)^{1/h}}$

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{1/h}}$

Aplicando uma mudança de variável

${\displaystyle {\frac {h}{x}}=t}$ → ${\displaystyle h=xt}$

Observamos que, quando h→0, então t→0. Essa troca é equivalente e não altera o limite. Desta forma:

${\displaystyle f'(x)=\lim _{t\to 0}\ln(1+t)^{1/xt}}$

${\displaystyle f'(x)=\lim _{t\to 0}[\ln(1+t)^{1/t}]^{1/x}}$

No entanto, do limite fundamental exponencial, sabemos que

${\displaystyle \lim _{t\to 0}(1+t)^{1/t}=e}$

Logo:

${\displaystyle f'(x)=\ln(e)^{1/x}={\frac {1}{x}}\ln(e)}$

Mas, ${\displaystyle \ln(e)=1}$ , portanto :

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}.}$^[2]

Referências