Função modular

O módulo ou valor absoluto (representado matematicamente como ${\displaystyle |a|}$) de um número real ${\displaystyle a}$ é o seu valor numérico absoluto, ou seja, desconsiderando-se seu sinal. Está associado à ideia de distância de um ponto até sua origem (o zero), ou seja, a sua magnitude.

Definição de módulo

O módulo de a pode ser definido da seguinte forma:

${\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{se }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{se }}a<0.\end{cases}}}$

Como pode ser visto a partir da definição acima, o valor absoluto de a é sempre positivo ou zero, mas nunca negativo.

Do ponto de vista da geometria analítica, o valor absoluto de um número real é a sua distância até o zero na reta numérica real e, em geral, o valor absoluto da diferença entre dois números reais é a distância entre eles. De fato, a noção abstrata de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença.

Definição de função modular

Uma função modular é uma aplicação de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ quando cada ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ está associado um elemento ${\displaystyle |x|\in \mathbb {R} }$.^[1]

Logo uma função modular é uma função definida por partes, e sua forma mais geral é dada por:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,&{\mbox{se }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{se }}x<0.\end{cases}}}$

Essa é a forma mais geral de uma função modular, porém é possível que haja diferentes tipos de funções combinadas com funções modulares.

Propriedades

Como a notação da raiz quadrada sem sinal representa a raiz quadrada positiva, segue que

${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}$

${\displaystyle (1)}$

que, às vezes, é utilizado como definição do valor absoluto de um número real.^[2]

O valor absoluto possui as seguintes propriedades fundamentais:

${\displaystyle |a|\geq 0}$	${\displaystyle (2)}$	É não negativo
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	${\displaystyle (3)}$	É positivo definido
${\displaystyle |ab|=|a||b|}$	${\displaystyle (4)}$	É multiplicativo
${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$	${\displaystyle (5)}$	É subaditivo

Outras propriedades importantes do valor absoluto incluem:

${\displaystyle |-a|=|a|}$	${\displaystyle (6)}$	Simetria
${\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}$	${\displaystyle (7)}$	Identidade dos indiscerníveis (equivalente a ser positivo definido)
${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$	${\displaystyle (8)}$	Desigualdade triangular (equivalente à subadtividade)
${\displaystyle |a/b|=|a|/|b|{\mbox{ (se }}b\neq 0)}$	${\displaystyle (9)}$	Preservação da divisão (equivalente à multiplicatividade)
${\displaystyle |a-b|\geq ||a|-|b||}$	${\displaystyle (10)}$	(equivalente à subaditividade)

No caso em que b > 0, há também as seguintes propriedades úteis com relação às desigualdades:

${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b{\mbox{ ou }}b\leq a}$

Tais relações podem ser utilizadas para resolver inequações envolvendo valores absolutos. Por exemplo:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

O valor absoluto é usado para definir a diferença absoluta, uma métrica usual nos números reais.

Algumas propriedades adicionais são listadas abaixo:

• ${\displaystyle |a|^{2}=a^{2},\qquad \forall a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle |-a|=|a|,\qquad \forall a\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|,\qquad \forall a,b\in \mathbb {R} }$

Notas e referências

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