Função sinc

Em matemática, a função sinc, o termo "sinc" é uma contração do nome da função em latim sinus cardinalis (seno cardinal), denotada por ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$ e às vezes como ${\displaystyle Sa(x)}$, tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a função sinc normalizada é comumente definida por:^[1]

${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.\,\!}$

Ela é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os ${\displaystyle x}$ é ${\displaystyle 1}$. A transformada de Fourier da função sinc normalizada é a função retangular sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais originais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.^[2]

Em matemática, a função sinc não-normalizada historicamente é definida por^[3]

${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}.\,\!}$

A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x) por um fator de π. Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valor limite ${\displaystyle 1}$. A função sinc é analítica em toda parte.

Propriedades

Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de ${\displaystyle \pi }$; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.

Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja, ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\xi )}{\xi }}=\cos(\xi )}$ para todos os ${\displaystyle \xi }$ onde a derivada de ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}}$ é nula (e, portanto, um extremo local é atingido).

A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produtório infinito

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)\,\!}$

e está relacionada à função gama ${\displaystyle \Gamma (x)}$ pela fórmula de reflexão de Euler:

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.\,\!}$

Euler descobriu que^[4]

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right).}$

A transformada de Fourier contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é rect(${\displaystyle f}$),

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),\,\!}$

onde a função retangular é ${\displaystyle 1}$ para argumentos entre ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}~e~{\tfrac {1}{2}}}$, e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixa ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1\,\!}$

é uma integral imprópria e não uma integral de Lebesgue convergente como

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .}$

A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:

• É uma função de interpolação, ou seja, ${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$, e ${\displaystyle \operatorname {sinc} (k)=0}$ para ${\displaystyle k}$ inteiros e não-nulos.
• As funções ${\displaystyle x_{k}(t)=\operatorname {sinc} (t-k)}$ formam uma base ortonormal para as funções limitadas em banda no espaço de funções ${\displaystyle L^{2}(R)}$, cuja maior frequência angular é ${\displaystyle \omega _{H}=\pi }$ (isto é, o ciclo de frequência mais alto é ${\displaystyle f_{H}={\tfrac {1}{2}}}$).

Outras propriedades das duas funções sinc são:

• O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da função de Bessel esférica de primeiro tipo, ${\displaystyle j_{0}(x)}$. O sinc normalizado é ${\displaystyle j_{0}(\pi x)}$ .

• ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x)\,\!}$

onde ${\displaystyle Si(x)}$ é o seno integral.

• ${\displaystyle \lambda \cdot \operatorname {sinc} (\lambda x)}$ (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da EDO linear

${\displaystyle x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.\,\!}$

A outra solução é ${\displaystyle {\frac {\cos(\lambda x)}{x}}}$, que diverge em ${\displaystyle x=0}$, ao contrário da função sinc.

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1.}$

onde o sinc normalizado é significativo.

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}\,\!}$

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}\,\!}$

Ver também

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Sinc function», especificamente desta versão.

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Sinc Function» (em inglês). MathWorld 

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