Núcleo (álgebra linear)

 Nota: Para outros significados, veja Núcleo.

Em matemática, mais especificamente em álgebra linear e análise funcional, o núcleo (kernel, em inglês) ou espaço nulo de uma transformação linear L : V → W entre dois espaços vetoriais V e W, é o conjunto de todos os elementos v de V para os quais L(v) = 0, em que 0 denota o vetor nulo de W.[1] Em outras palavras,

ker ⁡ ( L ) = { v ∈ V ∣ L ( v ) = 0 } . {\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}}

Propriedades

O núcleo (Ker) e a imagem de uma transformação L.

O núcleo de L é um subespaço vetorial do domínio V.[2] Para uma transformação linear L : V → W, dois elementos de V têm a mesma imagem em W se, e somente se, a sua diferença reside no núcleo de L:

L ( v 1 ) = L ( v 2 ) ⇔ L ( v 1 − v 2 ) = 0 . {\displaystyle L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} {\text{.}}}
Segue-se que a imagem de L é isomorfa ao quociente de V pelo núcleo:
i m ⁡ ( L ) ≅ V / ker ⁡ ( L ) . {\displaystyle \mathop {\mathrm {im} } (L)\cong V/\ker(L){\text{.}}}
Isto implica o teorema do posto e nulidade:
dim ⁡ ( ker ⁡ L ) + dim ⁡ ( i m ⁡ L ) = dim ⁡ ( V ) . {\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\mathop {\mathrm {im} } L)=\dim(V){\text{.}}}
onde, por posto entende-se a dimensão da imagem de L, e por nulidade, a dimensão do núcleo de L.

Quando V é um espaço com produto interno, o quociente V / ker(L) pode ser identificado com o complemento ortogonal de ker(L) em V. Esta é a generalização para operadores lineares do espaço linha, ou coimagem, de uma matriz.

Aplicação aos módulos

A noção de núcleo aplica-se aos homomorfismos de módulos, sendo estes últimos uma generalização dos espaços vetoriais sobre um corpo para um anel. O domínio da função passa a ser um módulo, e o núcleo constitui um "submódulo". Aqui, os conceitos de posto e de nulidade, não se aplicam necessariamente.

Na análise funcional

Se V e W são espaços vetoriais topológicos (e, W é de dimensão finita) então um operador linear L: V → W é contínuo se, e somente se, o núcleo de L é um subespaço fechado de V.

Representação como a multiplicação de matrizes

Considere uma transformação linear representada como uma matriz A de ordem m × n com coeficientes em um corpo K (normalmente o corpo dos números reais ou dos números complexos) e atuando sobre vetores coluna x com n componentes sobre K. O núcleo desta transformação linear é o conjunto de soluções para a equação A x = 0, em que 0 é entendido como o vetor nulo. A dimensão do núcleo de A é chamada de nulidade de A. Em notação de conjuntos,

N ⁡ ( A ) = Null ⁡ ( A ) = ker ⁡ ( A ) = { x ∈ K n | A x = 0 } . {\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}
A equação matricial é equivalente a um sistema de equações lineares homogêneas:

A x = 0 ⇔ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = 0 . {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}

Assim, o núcleo de A é o mesmo que o conjunto solução para o sistema homogêneo acima.

Propriedades de subespaço

O núcleo de uma matriz A de ordem m × n sobre um corpo K é um subespaço vetorial de Kn. Isto é, o núcleo de A, o conjunto Ker(A), tem as seguintes três propriedades:

  1. Ker(A) sempre contém o vetor nulo, uma vez que A0 = 0.
  2. Se x ∈ Ker(A) e y ∈ Ker(A), então x + y ∈ Ker(A). Isso decorre da distributividade da multiplicação de matrizes sobre a adição.
  3. Se x ∈ Ker(A) e c ∈ K é um escalar, então cx ∈ Ker(A), uma vez que A(cx) = c(Ax) = c0 = 0.

O espaço linha de uma matriz

O produto Ax pode ser escrito em termos do produto escalar de vetores da seguinte forma:

A x = [ a 1 ⋅ x a 2 ⋅ x ⋮ a m ⋅ x ] . {\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}
Aqui a1, ... , am indicam as linhas da matriz A. Segue-se que x está no núcleo de A se, e somente se, x é ortogonal (ou perpendicular) a cada um dos vetores linha de A (porque quando o produto escalar de dois vetores é igual a zero, eles são, por definição, ortogonais).

O espaço linha, ou coimagem, de uma matriz A é o espaço gerado pelos vetores linha de A. Pelo raciocínio acima, o núcleo de A é o complemento ortogonal para o espaço linha, ou seja, um vetor x está no núcleo de A se, e somente se, ele é perpendicular a cada vetor no espaço linha de A.

A dimensão do espaço linha de A é chamada de posto de A e a dimensão do núcleo de A é chamada de nulidade de A. Estas grandezas estão relacionadas pelo teorema do posto e da nulidade:

rank ⁡ ( A ) + nullity ⁡ ( A ) = n . {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.}

Espaço nulo à esquerda

O espaço nulo à esquerda, ou conúcleo, de uma matriz A consiste de todos os vetores x tais que xTA = 0T, em que T denota a transposição de um vetor coluna. O espaço nulo à esquerda de A é o mesmo que o núcleo de AT. O espaço nulo à esquerda de A é o complemento ortogonal do espaço de coluna de A, e é dual do conúcleo da transformação linear associada. O núcleo, o espaço linha, o espaço coluna, e o espaço nulo à esquerda de A são os quatro subespaços fundamentais associados à matriz A.

Sistemas de equações lineares não homogêneas

O núcleo também desempenha um papel na solução de um sistema linear não homogêneo:

A x = b or a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \;\;\;\;\;\;{\text{or}}\;\;\;\;\;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}

Se u e v são duas soluções possíveis da equação acima, então,

A ( u − v ) = A u − A v = b − b = 0 {\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} }

Assim, a diferença entre duas soluções da equação Ax = b pertence ao núcleo de A.

Disto resulta que qualquer solução da equação Ax = b pode ser expressa como a soma de uma soluço fixa v e um elemento arbitrário do núcleo, isto é, o conjunto solução para a equação Ax = b é

{ v + x ∣ A v = b ∧ x ∈ Null ⁡ ( A ) } , {\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},}

Geometricamente, isto diz que o conjunto solução de Ax = b é a translação do núcleo de A pelo vetor v. Ver também a alternativa de Fredholm e flat (geometria).

Ilustração

Nesta seção, é exemplificado o processo para determinar o núcleo de uma matriz (ver a seção sobre o Cálculo por eliminação gaussiana abaixo para métodos mais adequados para cálculos mais complexos). Também é mencionado o espaço linha e a sua relação com o núcleo.

Considere a matriz

A = [ 2 3 5 − 4 2 3 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}
O núcleo desta matriz consiste de todos os vetores (x, y, z) ∈ R3 para os quais

[ 2 3 5 − 4 2 3 ] [ x y z ] = [ 0 0 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}

o que pode ser expresso como um sistema de equações lineares homogêneas envolvendo x, y, e z:

2 x + 3 y + 5 z = 0 , − 4 x + 2 y + 3 z = 0 , {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&3y&&\;+\;&&5z&&\;=\;&&0,\\-4x&&\;+\;&&2y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&0,\\\end{alignedat}}}

o que pode ser escrito em forma de matriz, como:

[ 2 3 5 0 − 4 2 3 0 ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}

A eliminação de Gauss–Jordan reduz esta matriz a:

[ 1 0 1 / 16 0 0 1 13 / 8 0 ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}

Reescrevendo, obtém-se:

x = − 1 16 z y = − 13 8 z . {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x=\;&&-{\frac {1}{16}}z\,\,\,\\y=\;&&-{\frac {13}{8}}z.\end{alignedat}}}

Agora podemos expressar um elemento do núcleo:

[ x y z ] = c [ − 1 / 16 − 13 / 8 1 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}.}
em que c é um escalar.

Como c é uma variável livre, a solução também pode ser expressa como

[ x y z ] = c [ − 1 − 26 16 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}

O núcleo de A é, precisamente, o conjunto de soluções para estas equações (neste caso, uma reta que passa pela origem em R3); o vetor (-1,-26,16)T constitui uma base do núcleo de A. Assim, a nulidade de A é igual a 1.

Note também que os seguintes produtos escalares são nulos:

[ 2 3 5 ] ⋅ [ − 1 − 26 16 ] = 0 a n d [ − 4 2 3 ] ⋅ [ − 1 − 26 16 ] = 0 , {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc}2&3&5\end{array}}\right]\cdot {\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad \left[{\begin{array}{ccc}-4&2&3\end{array}}\right]\cdot {\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,} }

o que ilustra que os vetores no núcleo de A são ortogonais a cada um dos vetores linha de A.

Esses dois vetores linha (linearmente independentes) geram o espaço linha de A, um plano ortogonal ao vetor (-1,-26,16)T.

Com o posto de A sendo 2, a nulidade de A sendo 1, e a dimensão de A sendo 3, tem-se a ilustração do teorema do posto e da nulidade.

Exemplos

  • Se L: Rm → Rn, então o núcleo de L é o conjunto solução de um sistema de equações lineares homogêneas. Como na ilustração acima, se L é o operador:

L ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( 2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 , − 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 ) {\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}

então o núcleo de L é o conjunto de soluções das equações

2 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 = 0 − 4 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}

  • Seja C[0,1] o espaço vetorial de todas as funções contínuas do intervalo [0,1] a valores reais, e defina L: C[0,1] → R pela regra

L ( f ) = f ( 0.3 ) . {\displaystyle L(f)=f(0.3){\text{.}}}

Então o núcleo de L consiste de todas as funções f ∈ C[0,1] para as quais f(0.3) = 0.
  • Deixe C∞(R) o espaço vetorial de todas as funções R → R infinitamente diferenciáveis, e seja D: C∞(R) → C∞(R) o operador diferencial:

D ( f ) = d f d x . {\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}}

Então o núcleo de D consiste de todas as funções em C∞(R) cujas derivadas são nulas, ou seja, o conjunto de todas funções constantes.
  • Seja R∞ o produto direto de um número infinito de cópias de R, e seja s: R∞ → R∞ o operador shift

s ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , … ) = ( x 2 , x 3 , x 4 , … ) . {\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\text{.}}}

Então o núcleo de s é o subespaço unidimensional que consiste de todos os vetores (x1, 0, 0, ...).
  • Se V é um espaço com produto interno e W é um subespaço, o núcleo da projeção ortogonal de V → W é o complemento ortogonal de W em V.

Cálculo por eliminação gaussiana

Uma base do núcleo de uma matriz pode ser calculada por meio da eliminação de Gauss.

Para este efeito, dada uma matriz A de ordem m × n, pode-se construir a matriz aumentada por linhas [ A I ] , {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right],} em que I é a matriz identidade de ordem n × n.

Calculando-se sua forma escalonada reduzida por colunas através da eliminação de Gauss (ou qualquer outro método apropriado), obtém-se uma matriz [ B C ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right].} Uma base do núcleo de A consiste nas colunas não-nulas de C tais que a coluna correspondente de B é uma coluna nula.

Na verdade, o cálculo também pode ser interrompido assim que a matriz superior estiver na forma escalonada por colunas: o restante do cálculo consiste em alterar a base do espaço vetorial gerado pelas colunas cuja parte superior é zero.

Por exemplo, suponha que

A = [ 1 0 − 3 0 2 − 8 0 1 5 0 − 1 4 0 0 0 1 7 − 9 0 0 0 0 0 0 ] . {\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right].}
Então
[ A I ] = [ 1 0 − 3 0 2 − 8 0 1 5 0 − 1 4 0 0 0 1 7 − 9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right].}
Colocando-se a parte superior na forma escalonada por colunas por meio de operações sobre as colunas de toda a matriz resulta que
[ B C ] = [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 − 2 8 0 1 0 − 5 1 − 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 7 9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 ] . {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{array}}\right].}

As três últimas colunas de B são nulas. Portanto, os três últimos vetores de C,

[ 3 − 5 1 0 0 0 ] , [ − 2 1 0 − 7 1 0 ] , [ 8 − 4 0 9 0 1 ] {\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}

formam uma base do núcleo de A.

A demonstração de que o método fornece o núcleo é a seguinte: Como as operações sobre as colunas correspondem a multiplicação à direita por matrizes invertíveis, o fato de que [ A I ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]} se reduz a [ B C ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]} significa que existe uma matriz invertível P {\displaystyle P} tal que [ A I ] P = [ B C ] , {\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline I\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right],} com B {\displaystyle B} na forma escalonada por colunas. Assim, A P = B , {\displaystyle AP=B,} I P = C , {\displaystyle IP=C,} e consequentemente A C = B . {\displaystyle AC=B.} Um vetor coluna v {\displaystyle v} pertence ao núcleo de A {\displaystyle A} (ou seja, A v = 0 {\displaystyle Av=0} ) se, e somente se, B w = 0 , {\displaystyle Bw=0,} onde w = P − 1 v = C − 1 v . {\displaystyle w=P^{-1}v=C^{-1}v.} Como B {\displaystyle B} está na forma escalonada por colunas, B w = 0 , {\displaystyle Bw=0,} se, e somente se, as entradas de w {\displaystyle w} diferentes de zero correspondem às colunas nulas de B . {\displaystyle B.} Multiplicando por C {\displaystyle C} pode-se deduzir que este é o caso se, e somente se, v = C w {\displaystyle v=Cw} é uma combinação linear das colunas correspondentes de C . {\displaystyle C.}

Cálculo numérico

O problema de calcular o núcleo em um computador depende da natureza dos coeficientes.

Coeficientes exatos

Se os coeficientes da matriz são números exatos, a forma escalonada reduzida por colunas da matriz pode ser calculada pelo algoritmo de Bareiss mais eficientemente do que com a eliminação de Gauss. É ainda mais eficiente usar a aritmética modular e o teorema chinês do resto, que reduz o problema a vários similares sobre corpos finitos (isso evita a sobrecarga induzida pela não-linearidade da complexidade computacional da multiplicação de inteiros). [carece de fontes?]

Para coeficientes em um corpo finito, a eliminação de Gauss funciona bem, mas para as matrizes grandes que ocorrem em criptografia e no cálculo de bases de Gröbner, são conhecidos algoritmos melhores, que têm aproximadamente a mesma complexidade computacional, mas são mais rápidos e comportar-se melhor no hardware de computadores modernos. [carece de fontes?]

Cálculo em ponto flutuante

Para matrizes cujas entradas são números de ponto flutuante, o problema de calcular o núcleo só faz sentido para matrizes em que o número de linhas é igual ao seu posto: devido aos erros de arredondamento, uma matriz de ponto flutuante quase sempre tem um posto cheio, mesmo quando é uma aproximação de uma matriz com um posto muito menor. Mesmo para uma matriz de posto cheio, só é possível calcular o seu núcleo se ela for bem condicionada, ou seja, se tem um número de condicionamento baixo.[3]

Mesmo para uma matriz de posto completo bem condicionada, a eliminação gaussiana não se comporta corretamente: ela introduz erros de arredondamento que são grandes demais para a obtenção de um resultado significativo. Como o cálculo do núcleo de uma matriz é um caso especial da solução de um sistema homogêneo de equações lineares, o núcleo pode ser calculado por qualquer um dos vários algoritmos projetados para resolver sistemas homogêneos. Um software do estado da arte para esta finalidade é a biblioteca Lapack. [carece de fontes?]

Ver também

Notas

  1. ↑ «Núcleo e Imagem». UFMG. Consultado em 12 de outubro de 2018 
  2. ↑ A Álgebra Linear, como discutida neste artigo, é uma disciplina matemática muito bem estabelecida para a qual há muitas fontes. Praticamente todo o material deste artigo pode ser encontrado em Lay 2005, Meyer 2001, e nas aulas de Strang.
  3. ↑
    https://www.math.ohiou.edu/courses/math3600/lecture11.pdf

Referências

  • Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right, ISBN 0-387-98259-0 2nd ed. , Springer-Verlag. 
  • Lay, David C. (2005), Linear Algebra and Its Applications, ISBN 978-0-321-28713-7 3rd ed. , Addison Wesley. 
  • Meyer, Carl D. (2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, ISBN 978-0-89871-454-8, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), cópia arquivada em 31 de outubro de 2009. 
  • Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction, ISBN 0-534-99845-3 2nd ed. , Brooks/Cole. 
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th ed. , Wiley International. 
  • Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications 7th ed. , Pearson Prentice Hall. 
  • Lang, Serge. Linear Algebra. [S.l.: s.n.] ISBN 9780387964126 
  • Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III (1997), Numerical Linear Algebra, ISBN 978-0-89871-361-9, SIAM. 

Ligações externas

  • v
  • d
  • e
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