Potencial de Lennard-Jones

Um par de átomos neutros ou moléculas é sujeito a duas forças distintas no limite de maior e menor separação: uma força atrativa a grande distância (forças de London - forças de van der Waals) e uma força repulsiva em menores distâncias (o resultado de sobreposição de orbitais de elétrons, relacionados à força de troca do princípio de exclusão de Pauli). O potencial de Lennard-Jones (também referido como potencial L-J, potencial 6-12 ou, menos comumente, potencial 12-6) é um modelo matemático simples que representa este comportamento. Foi proposto em 1924 por John Lennard-Jones.^[1]

Descrição

O potencial L-J tem a forma

${\displaystyle V(r)=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right]}$

onde ${\displaystyle \,\epsilon }$ é o poço de potencial e ${\displaystyle \,\sigma }$ é a distância (finita) na qual o potencial interpartícula é zero.

Estes parâmetros podem ser ajustados para reproduzir dados experimentais ou podem ser deduzidos de resultados muito precisos de cálculos de física ou química quântica. O termo

${\displaystyle \left({\frac {1}{r}}\right)^{12}}$ descreve a repulsão e o termo ${\displaystyle \left({\frac {1}{r}}\right)^{6}}$ descreve a atração.

A função que descreve a força a que estão sujeitas as partículas é o negativo do gradiente do potencial acima descrito:

${\displaystyle \mathbf {F} (r)=-\nabla V(r)=-{\frac {d}{dr}}V(r){\hat {\mathbf {r} }}=4\epsilon \left(12\,{\frac {{\sigma }^{12}}{{r}^{13}}}-6\,{\frac {{\sigma }^{6}}{{r}^{7}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}}$

O potencial de Lennard-Jones é uma aproximação. A forma do termo que descreve a repulsão não tem nenhuma justificação teórica; a força repulsiva deve depender exponencialmente da distância, mas o termo da fórmula de L-J é mais conveniente devido à facilidade e eficiência de calcular r¹² como o quadrado de r⁶. Sua origem física está relacionada ao princípio de exclusão de Pauli: quando duas nuvens eletrônicas circulando os átomos iniciam a se sobrepôr, a energia do sistema aumenta abruptamente^[2]. O exponente 12 foi eleito exclusivamente por sua facilidade de cálculo.

Formas alternativas

A função do potencial de Lennard-Jones comumente se escreve da seguinte forma:

${\displaystyle V(r)=\epsilon \left[\left({\frac {r_{min}}{r}}\right)^{12}-2\left({\frac {r_{min}}{r}}\right)^{6}\right]}$

onde

${\displaystyle \,r_{min}}$ = ${\displaystyle \,2^{1/6}\sigma }$ é a distância na qual o potencial se encontra em um mínimo.

A formulação mais precisa, usada comumente por software de simulação, é:

${\displaystyle V(r)={\frac {A}{r^{12}}}-{\frac {B}{r^{6}}}}$

onde

${\displaystyle \,A=4\epsilon \sigma ^{12}}$

${\displaystyle \,B=4\epsilon \sigma ^{6}}$

${\displaystyle \sigma =\left({\frac {A}{B}}\right)^{\frac {1}{6}}}$

e

${\displaystyle \epsilon ={\frac {B^{2}}{4A}}}$.

Potencial truncado

Em geral, para poupar tempo computacional, o potencial de Lennard-Jones é truncado na distância limite de ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=2.5\sigma }$ donde

${\displaystyle \displaystyle V(r_{c})=V(2.5\sigma )=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{2.5\sigma }}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{2.5\sigma }}\right)^{6}\right]=-0.0163\epsilon =-{\frac {1}{61.3}}\epsilon }$

(1)

i.e., em ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=2.5\sigma }$, o potencial LJ ${\displaystyle \displaystyle V}$ é aproximadamente 1/60 de seu valor mínimo ${\displaystyle \displaystyle \epsilon }$ (profundidade do potencial). Depois de ${\displaystyle \displaystyle r_{c}}$, se assinala o valor 0 ao potencial computacional.

Por outro lado, para evitar uma descontinuidade em ${\displaystyle \displaystyle r_{c}}$, como se mostra na equação 1, o potencial de LJ é desprezado ligeiramente até acima, de tal forma que o potencial computacional seja 0 exatamente na distância limite ${\displaystyle \displaystyle r_{c}}$.

Referências