Teorema do ponto fixo de Kakutani

Em análise matemática, o teorema do ponto fixo de Kakutani é um dos teoremas que garantem a existência de ponto fixo sob determinadas condições. O teorema fornece condições suficientes para que uma correspondência definida em um subconjunto convexo e compacto de um espaço euclidiano tenha um ponto fixo.

O teorema do ponto fixo de Kakutani é uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer, que prova a existência de pontos fixos para funções contínuas definidas em conjuntos compactos e convexos de espaços euclidianos. Em 1941, Shizuo Kakutani estendeu este teorema de funções para correspondências (funções multi-valoradas).

Este teorema é usado para provar a existência do equilíbrio de Nash.^[1]

Definição formal

Antes de enunciar o teorema, é preciso definir alguns conceitos.

Uma correspondência ou multipliaplicação é uma função multivariada; existem duas formas de representar este conceito, ou como uma função ${\displaystyle f:A\rightsquigarrow B}$ que toma vários valores em B para cada ponto de A, ou, mais precisamente, como uma função ${\displaystyle F:A\to P(B)-\varnothing }$, ou seja, uma função que associa a cada ponto ${\displaystyle a\in A}$ um subconjunto não vazio ${\displaystyle F(a)\subseteq B}$.^[2]

Uma multiaplicação ${\displaystyle f:A\rightsquigarrow B}$ cujo contradomínio B seja um subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ é fechada (respectivamente convexa, aberta, etc) quando, para todo ponto ${\displaystyle a\in A}$, F(a) for um conjunto fechado (respectivamente convexo, aberto, etc).^[2] O gráfico de uma multiaplicação é o subconjunto de ${\displaystyle A\times B}$ formado pelos pares ${\displaystyle (a,b),a\in A,b\in F(a)}$ (ou seja, se a multiaplicação for vista como uma relação, é o gráfico da relação).

O teorema de Kakutani afirma então:^[3]

• Seja ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$ um conjunto compacto, convexo e não-vazio, e seja ${\displaystyle f:K\rightsquigarrow K}$ uma correspondência (multiaplicação) convexa cujo gráfico seja fechado. Então f tem um ponto fixo, ou seja, existe ${\displaystyle x\in A}$ tal que ${\displaystyle x\in F(x)}$.

Uma forma equivalente deste teorema é:^[4]

• Seja A não-vazio, compacto e convexo, contido no conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ e seja ${\displaystyle f:A\rightsquigarrow A}$ uma correspondência hemi contínua superior e convexa, então f tem (pelo menos) um ponto fixo, ou seja, existe um ${\displaystyle x\in A}$ tal que ${\displaystyle x\in F\left(x\right)}$

Contra-exemplo

A exigência de que ${\displaystyle f\left(x\right)}$ seja um conjunto convexo para todo x é essencial para que o teorema funcione.

Considere a seguinte correspondência definida em [0,1]:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\{3/4,1/4\}&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\\\end{cases}}}$

Esta correspondência não tem ponto fixo (não toca a linha vermelha no gráfico), apesar de satisfazer todos as condições do teorema de Kakutani exceto a convexidade em x = 0,5.

Referências

• Portal da matemática