Teorema do resto

Em álgebra, o teorema do resto afirma que o resto ${\displaystyle r\,}$, que resulta da divisão de um polinômio ${\displaystyle p(x)\,}$ por ${\displaystyle x-a\,}$, é igual a ${\displaystyle p(a)\,.}$

O teorema do resto permite que se calcule ${\displaystyle f(a)\,}$ calculando o resto ou vice-versa. E também se pode usá-lo para decompor um polinômio em fatores.

Demonstração

Seja ${\displaystyle p(x)\,}$ um polinômio a uma variável em um corpo. Então existem únicos ${\displaystyle q(x)\,}$ e ${\displaystyle r(x)\,}$, também polinômios a uma variável em um corpo, de forma que ${\displaystyle p(x)=q(x)\cdot (x-a)+r(x)\,}$ com o grau de ${\displaystyle r(x)\,}$ menor que o grau de ${\displaystyle q(x)\,}$.

Desta forma, vemos que ${\displaystyle p(a)=q(a)\cdot (a-a)+r(a)\,}$

${\displaystyle p(a)=q(a)\cdot 0+r(a)\,}$

${\displaystyle p(a)=r(a)\,}$, como queríamos demonstrar. (c.q.d)

Ver também

Divisão polinomial

Algoritmo de Briot-Ruffini

Teorema fundamental da álgebra

Algoritmo Paramétrico

Referências

• IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol.6. 7ª ed. São Paulo: Atual, 2002.