Vetor tangente

Para um tratamento mais geral - mas muito mais técnico - dos vetores tangentes, consulte o espaço tangente .

Na matemática, um vetor tangente é um vetor tangente a uma curva ou superfície em um determinado ponto. Os vetores tangentes são descritos na geometria diferencial das curvas no contexto das curvas em R ⁿ . Geralmente, vetores tangentes são elementos de um espaço tangente de uma variedade diferenciável . Formalmente, um vetor tangente no ponto ${\displaystyle x}$ é uma derivação linear da álgebra definida pelo conjunto de números em ${\displaystyle x}$ .

Motivação

Antes de prosseguir para uma definição geral do vetor tangente, discutiremos seu uso no cálculo e suas propriedades tensoras .

Cálculo

Sendo ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ uma curva suave paramétrica., o vetor tangente é dado por ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }(t)}$, onde usamos um risco em vez do ponto usual para indicar diferenciação em relação ao parâmetro t . ^[1] O vetor tangente unitário é dado por

${\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(t)}{|\mathbf {r} ^{\prime }(t)|}}\,.}$

Exemplo

Dada a curva

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\{(1+t^{2},e^{2t},\cos {t})|\ t\in \mathbb {R} \}}$

no ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, o vetor tangente unitário em ${\displaystyle t=0}$ é dado por

${\displaystyle \mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} ^{\prime }(0)}{\|\mathbf {r} ^{\prime }(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},\ -\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.}$

Contra variância

Se ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ é dado parametricamente no sistema de coordenadas n-dimensionais xⁱ (aqui, usamos sobrescritos como um índice em vez do habitual) ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))}$ ou

${\displaystyle \mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,}$

então o campo vetorial tangente ${\displaystyle \mathbf {T} =T^{i}}$ é dado por

${\displaystyle T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.}$

Sob uma mudança de coordenadas

${\displaystyle u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n}$

o vetor tangente ${\displaystyle {\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}}$ no sistema de coordenadas uⁱ é dado por

${\displaystyle {\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}}$

onde usamos a convenção de somatório de Einstein . Assim, um vetor tangente de uma curva suave será transformado como um tensor contravariante de ordem um sob uma mudança de coordenadas. ^[2]

Definição

Deixe ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ser uma função diferenciável e deixe ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ser um vetor em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Definimos a derivada direcional na direção ${\displaystyle \mathbf {v} }$ em um ponto ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ por

${\displaystyle D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.}$

O vetor tangente no ponto ${\displaystyle \mathbf {x} }$ pode então ser definido ^[3] como

${\displaystyle \mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv D_{\mathbf {v} }(f(\mathbf {x} ))\,.}$

Propriedades

Deixe ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ serem funções diferenciadas, vamos ${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$ ser vetores tangentes em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ às ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$, e deixar ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ . Então

1. ${\displaystyle (a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\displaystyle \mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)}$
3. ${\displaystyle \mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.}$ .

Vetor tangente em variedades

Deixei ${\displaystyle M}$ ser um coletor diferenciável e deixar ${\displaystyle A(M)}$ ser a álgebra de funções diferenciáveis com valor real ${\displaystyle M}$ . Então o vetor tangente para ${\displaystyle M}$ em um ponto ${\displaystyle x}$ no coletor é dado pela derivação ${\displaystyle D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R} }$ que deve ser linear — ou seja, para qualquer ${\displaystyle f,g\in A(M)}$ e ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ temos

${\displaystyle D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.}$

Observe que a derivação terá, por definição, a propriedade Leibniz

${\displaystyle D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.}$

Referências

Bibliografia

• Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press 
• Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole  .
• Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill  .