Funcție

În matematică, o funcție este o relație care asociază fiecărui element dintr-o mulțime (domeniul) un singur element dintr-o altă (posibil din aceeași) mulțime (codomeniul). Noțiunea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate științele exacte.

Definiție formală

Fie A și B două mulțimi. Se notează cu G produsul lor cartezian: G = A × B.

Fie F o submulțime a lui G.

F este o funcție dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Pentru orice element x din mulțimea A, există un element y în mulțimea B astfel încât perechea (x, y) se află în F.
2. Pentru oricare două perechi (x₁ , y₁) și (x₁, y₂) din F, y₁ = y₂.

Funcțiile pot fi definite astfel:

• Prin tabel : f : { 4, 5, 6 } → { 1, 2 } ; f ( 4 ) = 1, f ( 5 ) = 2, f ( 6 ) = 1
• Printr-o expresie algebrică (sau mai multe expresii algebrice diferite pe porțiuni ale domeniului) : f : R → R ; f ( x ) = 3x - 1

Imaginea funcției

Imaginea unei funcții ${\displaystyle f:A\to B}$ este o submulțime a lui B alcătuită din toate valorile ${\displaystyle f(x),\forall x\in A}$. Se notează Im${\displaystyle f}$ sau ${\displaystyle f(A)}$.

Im${\displaystyle f={\big \{}f(x)|x\in A{\big \}}}$ sau

Im${\displaystyle f={\big \{}y\in B|\exists x\in A,f(x)=y{\big \}}}$

Graficul funcției

Graficul funcției ${\displaystyle f:A\to B}$ G_f=${\displaystyle {\big \{}(x,f(x))|x\in A{\big \}}}$

Proprietăți

Injectivitate

Injecție

Surjecție

Bijecție

O funcție f:A→B se numește „injectivă” sau „injecție” dacă asociază fiecărui element din domeniu un element diferit din codomeniu. Definiții:

1. ${\displaystyle \forall x,y\in A,x\neq y}$ atunci f(x)≠f(y) sau
2. ${\displaystyle \forall x,y\in A,}$ dacă f(x)=f(y) atunci x=y

Interpretare geometrică: O funcție f este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa O_x intersectează graficul funcției f în cel mult un punct.

Un exemplu este funcția ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} ,f(x)=x^{3}}$.

Deoarece pentru ${\displaystyle \forall x,y\in \mathbb {N} }$ x≠y avem x³ ≠ y³, înseamnă că funcția f este injectivă.

Surjectivitate

O funcție f:A→B se numește „surjectivă” sau „surjecție” dacă asociază fiecărui element din codomeniu un element din domeniu. Respectiv, ${\displaystyle \forall y\in B}$, atunci ${\displaystyle \exists x\in A}$ astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este surjectivă dacă orice paralelă la O_x printr-un punct ${\displaystyle y\in B}$ de pe O_y intersectează graficul funcției f în cel puțin un punct.

O funcție surjectivă, de exemplu, este ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} }$, f(x)=|x|, atunci ${\displaystyle \forall y\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y,-y\in \mathbb {Z} }$ astfel încât f(y)=f(-y).

Bijectivitate

O funcție f:A→B se numește „bijectivă” sau „bijecție” dacă este și injectivă și surjectivă. Respectiv, f este o bijecție dacă ${\displaystyle \forall y\in B}$, ${\displaystyle \exists x\in A}$ unic astfel încât f(x)=y.

Interpretare geometrică: O funcție f este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa O_x printr-un punct ${\displaystyle y\in B}$ de pe O_y intersectează graficul funcției f în exact un punct.

Un exemplu de funcție bijectivă este ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$, f(x)=x+3, atunci ${\displaystyle \forall y\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \exists x\in \mathbb {Z} }$ astfel încât f(x)=y, iar acel x este y-3, unic.

Inversa unei funcții

O funcție ${\displaystyle f:A\to B}$ se numește „inversabilă” dacă și numai dacă există funcția ${\displaystyle g:B\to A}$ astfel încât ${\displaystyle f\circ g=g\circ f=\mathbf {1} _{A}}$. Atunci ${\displaystyle g:B\to A}$ se numește „inversa” funcției ${\displaystyle f}$ și se notează ${\displaystyle f^{-1}}$. Funcția ${\displaystyle f}$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

• Inversa unei funcții este unică și simetrică față de funcție.
• Graficele funcțiilor numerice ${\displaystyle f}$ și ${\displaystyle f^{-1}}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta cu ecuația ${\displaystyle y=x}$.

Paritatea funcției

Funcția pară f(x)=x²

Funcția impară f(x)=x³

Funcții pare și impare

O funcție cu valori reale, ${\displaystyle f:A\to B}$ unde ${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} }$, se numește „pară” dacă ${\displaystyle \forall x\in A,f(x)=f(-x)}$. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

O funcție ${\displaystyle f:A\to B}$ cu valori reale se numește „impară” dacă

1. ${\displaystyle \forall x\in A,f(x)=-f(-x)}$ sau
2. ${\displaystyle \forall x\in A,f(x)+f(-x)=0}$.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Proprietăți

• Singura funcție care este și pară și impară este funcția constantă egală cu zero.
• Suma și diferența a două funcții de aceeași paritate mențin acea paritate.
• Orice multiplu al unei funcții are aceeași paritate ca funcția originală.
• Produsul a două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
• Produsul unei funcții pare cu o funcție impară este o funcție impară.
• Raportul dintre două funcții de aceeași paritate este o funcție pară.
• Raportul dintre o funcție pară cu o funcție impară este o funcție impară.

Monotonie

Legături externe

• The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
• Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
• xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
• Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
• Functions from cut-the-knot.
• Function at ProvenMath.
• Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool Arhivat în 30 noiembrie 2010, la Wayback Machine..
• FunctionGame, an educational interactive function guessing games.