Lagranžov polinom

Interpolacija putem Lagranžovih polinoma je postupak u kome je za n + 1 {\displaystyle n+1} tačaka uz pomoć Langražovih polinoma potrebno da se nađu nove vrednosti neke nepoznate funkcije ili funkcije čije je izračunavanje preteško (vremenski prenaporno ili čak nemoguće).

Slika prikazuje četiri tačke ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), i (kubni) interpolacioni polinom L(x), koji je zbir skaliranih baznih polinoma y0l0(x), y1l1(x), y2l2(x) i y3l3(x). Interpolacioni polinom prolazi kroz sve četiri kontrolne tačke, i svaki skalirani bazni polinom prolazi kroz svoju kontrolnu tačku, i jednak je 0 tamo gde x odgovara ostalim trima kontrolnim tačkama.

Ideja iza postupka je vrlo slična drugim metodama (Njutnovoj metodi, na primer): Polazeći od poznatih tačaka konstruiše se nova osnova nekog prostora. Onda se data funkcija (odnosno njene poznate vrednosti za date tačke) transformiše u taj novi prostor. Malo neformalnije rečeno, od nje se pravi polinom, a ona služi pre svega kao uzor. Time se dobija nova, približna funkcija (polinom) koji može da se izračuna.

Osnova za Langražov polinom je:

l i ( x ) = ∏ j = 0 , j ≠ i n x − x j x i − x j {\displaystyle l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}}

Približna funkcija koja aproksimira f ( x ) {\displaystyle f(x)} je P ( x ) {\displaystyle P(x)} ; x i {\displaystyle x_{i}} su tačke za koje su poznate vrednosti date funkcije:

P ( x ) = ∑ i = 0 n f ( x i ) l i ( x ) {\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)}

Gledajući l i ( x ) {\displaystyle l_{i}(x)} za i ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle i\in \{1,2,3,4,5\}} :

l 0 ( x ) = x − x 1 x 0 − x 1 ⋅ x − x 2 x 0 − x 2 ⋅ x − x 3 x 0 − x 3 ⋅ x − x 4 x 0 − x 4 {\displaystyle l_{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}}
l 1 ( x ) = x − x 0 x 1 − x 0 ⋅ x − x 2 x 1 − x 2 ⋅ x − x 3 x 1 − x 3 ⋅ x − x 4 x 1 − x 4 {\displaystyle l_{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}}
l 2 ( x ) = x − x 0 x 2 − x 0 ⋅ x − x 1 x 2 − x 1 ⋅ x − x 3 x 2 − x 3 ⋅ x − x 4 x 2 − x 4 {\displaystyle l_{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1}}\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}}
l 3 ( x ) = x − x 0 x 3 − x 0 ⋅ x − x 1 x 3 − x 1 ⋅ x − x 2 x 3 − x 2 ⋅ x − x 4 x 3 − x 4 {\displaystyle l_{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}}
l 4 ( x ) = x − x 0 x 4 − x 0 ⋅ x − x 1 x 4 − x 1 ⋅ x − x 2 x 4 − x 2 ⋅ x − x 3 x 4 − x 3 {\displaystyle l_{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}}

postaje jasnije zašto su takvi polinomi baš izabrani. Na svim mestima x j ≠ i {\displaystyle x_{j\neq i}} polinom ima nulto mesto, a kod x i {\displaystyle x_{i}} ima vrednost 1. Tako je osigurano da će navedeni polinom da prođe tačno kroz date tačke odnosno da će za sve P ( x i ) {\displaystyle P(x_{i})} da važi P ( x i ) = f ( x i ) {\displaystyle P(x_{i})=f(x_{i})} .

Primer

Poznata je vrednost polinoma u 3 različite tačke :

X 1 2 3
Y 3 -1 1

Ekstrapolacijom se dobija polinom :

P ( x ) = 3 ⋅ x − 2 1 − 2 ⋅ x − 3 1 − 3 + ( − 1 ) ⋅ x − 1 2 − 1 ⋅ x − 3 2 − 3 + 1 ⋅ x − 1 3 − 1 ⋅ x − 2 3 − 2 {\displaystyle P(x)=3\cdot {x-2 \over 1-2}\cdot {x-3 \over 1-3}+(-1)\cdot {x-1 \over 2-1}\cdot {x-3 \over 2-3}+1\cdot {x-1 \over 3-1}\cdot {x-2 \over 3-2}}