Konjugatregeln

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-06) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Inom matematiken är konjugatregeln ofta använd för att skriva om en differens till en produkt. Om ${\displaystyle a}$ och ${\displaystyle b}$ är två tal är

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).\,}$

Konjugatregeln gäller även för andra matematiska objekt än tal. Objekten ${\displaystyle a}$ och ${\displaystyle b}$ måste då kommutera.

Exempel

Huvudräkning

Det kan vara enklast att beräkna

${\displaystyle 93\times 107}$

enligt

${\displaystyle 100^{2}-7^{2}=10000-49=9951}$

Partiella differentialekvationer

Homogena ideala vågekvationen i en rumsdimension

Homogena ideala vågekvationen i en rumsdimension kan lösas genom att först skriva om enligt

${\displaystyle \partial _{xx}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{tt}\phi =0\quad \Leftrightarrow \quad {\biggl (}\partial _{x}+{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\biggr )}{\biggl (}\partial _{x}-{\frac {1}{c}}\partial _{t}{\biggr )}\phi =0}$

Genom insättning kan följande enkelt verifieras:

${\displaystyle \partial _{x}\phi -{\frac {1}{c}}\partial _{t}\phi =0\quad \Rightarrow \quad \phi (x,t)=f(x+ct)}$

Nollproduktmetoden och superpositionsprincipen kan nu användas för att få lösningen

${\displaystyle \phi (x,t)=f(x+ct)+g(x-ct)}$

Laplaces ekvation i två rumsdimensioner

På samma sätt som i föregående exempel fås

${\displaystyle \partial _{xx}\phi +\partial _{yy}\phi =0\quad \Leftrightarrow \quad {\bigl (}\partial _{x}+i\partial _{y}{\bigr )}{\bigl (}\partial _{x}-i\partial _{y}{\bigr )}\phi =0}$

med lösning

${\displaystyle \phi (x,y)=f(x+iy)+g(x-iy)}$

Notis om schrödingerekvationen

Man kan tänka sig att schrödingerekvationen

${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\phi ={\mathcal {H}}\phi }$

utgör den första av "faktorerna" i uppdelningen

${\displaystyle \hbar ^{2}\partial _{tt}\phi =-{\mathcal {H}}^{2}\phi \quad \Leftrightarrow \quad {\bigl (}{\mathcal {H}}-i\hbar \partial _{t}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {H}}+i\hbar \partial _{t}{\bigr )}\phi =0}$

Allmänna konjugatregeln

Om exponenten är ett godtyckligt positivt heltal fås vad som kallas den allmänna konjugatregeln:

${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}\,b^{k}\right),\quad n=1,2,3,\dots .}$

Exempel

${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)\cdot (a^{4}\,b^{0}+a^{3}\,b^{1}+a^{2}\,b^{2}+a^{1}\,b^{3}+a^{0}\,b^{4})}$

Tillämpning inom talteori

Låt a, b och n beteckna positiva heltal. Den allmänna konjugatregeln visar att ett tal på formen ${\displaystyle a^{n}-b^{n}\,}$ bara kan vara ett primtal om differensen mellan a och b är ett. För att hitta primtal på denna form är det därför tillräckligt att inskränka letandet till tal av typen ${\displaystyle a^{n}-(a-1)^{n}.\,}$ Speciellt ger valet ${\displaystyle a=2}$ det som kallas mersennetal:

${\displaystyle 2^{n}-1}$

För vissa värden på det positiva heltalet ${\displaystyle n}$ är ${\displaystyle 2^{n}-1\,}$ ett primtal (mersenneprimtal) och för sådana värden måste talet

${\displaystyle 1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots +2^{n-1}}$

vara ett primtal enligt konjugatregeln.

Bevis av den allmänna konjugatregeln

Den allmänna konjugatregeln kan bevisas med hjälp av matematisk induktion med avseende på det positiva heltalet n:

• Först visas att regeln är sann då n = 1
• Sedan antas att regeln är sann då n = N, där N är ett positivt heltal
• Sedan visas att regeln är sann för nästa positiva heltal n = N + 1
• Slutligen används matematisk induktion som leder till att regeln är sann för alla positiva heltal n.

För det positiva heltalet n = 1 innebär allmänna konjugatregeln sambandet

${\displaystyle a^{1}-b^{1}=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{1-1}a^{1-1-k}\,b^{k}\right)=(a-b)\cdot (a^{0}\,b^{0})=a-b}$

vilket uppenbarligen är sant. Den allmänna konjugatregeln är därför sann för det positiva heltalet n = 1.

Nu antas att den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, det vill säga:

${\displaystyle a^{N}-b^{N}=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{N-1}a^{N-1-k}\,b^{k}\right)}$

Med utgångspunkt från detta antagande skall det visas att regeln är sann för nästa positiva heltal, det vill säga att

${\displaystyle a^{N+1}-b^{N+1}=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{N}a^{N-k}\,b^{k}\right)}$

Differensen ${\displaystyle a^{N+1}-b^{N+1}}$ skrivs om på ett sätt som gör att det går använda det som är känt om differensen

${\displaystyle a^{N}-b^{N};}$

${\displaystyle a^{N+1}-b^{N+1}=a^{N}a-a^{N}b+a^{N}b-b^{N}b.\,}$

De termer slås samman som innehåller faktorn ${\displaystyle a^{N}}$ och även de termer som innehåller faktorn b:

${\displaystyle a^{N+1}-b^{N+1}=a^{N}\,(a-b)+(a^{N}-b^{N})\,b.}$

Sedan ersätts differensen ${\displaystyle a^{N}-b^{N}}$ med det uttryck som antagits vara sant:

${\displaystyle a^{N+1}-b^{N+1}=a^{N}\,(a-b)+b\cdot (a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{N-1}a^{N-1-k}\,b^{k}\right)}$

Därefter bryts den gemensamma faktorn ${\displaystyle (a-b)\,}$ ut och återstoden skrivs ut i detalj:

${\displaystyle a^{N+1}-b^{N+1}=(a-b)\cdot \left(a^{N}+b\cdot \left(a^{N-1}+a^{N-2}b+\cdots +ab^{N-2}+b^{N-1}\right)\right).}$

Sedan multipliceras faktorn b in i summan ovan och därmed är

${\displaystyle a^{N+1}-b^{N+1}=(a-b)\cdot \left(a^{N}+a^{N-1}b+a^{N-2}b^{2}+\cdots +ab^{N-1}+b^{N}\right).}$

Med hjälp av summa-symbolen kan resultat skrivas på en form som visar att

${\displaystyle a^{N+1}-b^{N+1}=(a-b)\cdot \left(\sum _{k=0}^{N}a^{N-k}\,b^{k}\right).}$

Det har härmed visats att om den allmänna konjugatregeln är sann för det positiva heltalet n = N, så är den även sann för nästa positiva heltal n = N + 1.

Enligt principen för matematisk induktion är då den allmänna konjugatregeln sann för alla positiva heltal n.

Se även

• Konjugat (Algebra)
• Kvadreringsreglerna