Lévys C-kurva

Lévys C-kurva även känd som Lévy-draken är en fraktal som har fått sin namn från den franske matematikern Paul Pierre Lévy. Namnet c-kurva kommer från att dess utseende kan jämföras med ett C. Jämfört med Von Kochs kurva eller Sierpinskis kurvor har Lévys C-kurva mer avancerad struktur, men enklare struktur än exempelvis Juliamängden och Mandelbrotmängden. [1]

IFS konstruktion

Lévy C-kurva skapad med hjälp av IFS

Lévys c-kurva kan beräknas med hjälp av användning av itererande funktionssystem.

F = { f 0 , f 1 } : R 2 → R 2 {\displaystyle F=\{f_{0},f_{1}\}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}


Funktionerna f 0 {\displaystyle f_{0}} och f 1 {\displaystyle f_{1}} består av förminskning med faktorn 1 / 2 {\displaystyle 1/{\sqrt {2}}} och en rotation med π / 4 {\displaystyle \pi /4} för f 0 {\displaystyle f_{0}} och − π / 2 {\displaystyle -\pi /2} för f 1 {\displaystyle f_{1}} . C-kurvans Attraktor (K) är den mängd som satisfierar:

K = f 0 ( K ) ∪ f 1 ( K ) {\displaystyle K=f_{0}(K)\cup f_{1}(K)} .

För en kompakt mängd S:

F ( S ) = f 0 ( S ) ∪ f 1 ( S ) {\displaystyle F(S)=f_{0}(S)\cup f_{1}(S)} .
K = F ( K ) {\displaystyle K=F(K)\,\!}

K är en fixerad punkt i F och

K = lim k → ∞ F K ( S ) {\displaystyle K=\lim _{k\to \infty }F^{K}(S)}

Visar att om S är ett linjesegment (med hörn i f 0 {\displaystyle f_{0}} och f 1 {\displaystyle f_{1}} ) så kommer funktionen F upprepad oändligt antal gånger existera ändligt. S k = F k ( S ) {\displaystyle S_{k}=F^{k}(S)} konvergerar då k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } Om mängden S 0 {\displaystyle S_{0}} är ett linjesegment med hörn i f 0 ( K ) {\displaystyle f_{0}(K)} och f 1 ( K ) {\displaystyle f_{1}(K)} så kommer denna linje transformeras om till en rätvinklig triangel som saknar baslinje. Vid nästa steg i iterationen kommer de två linjerna (som kan ses som sidor i en triangel) att bilda två nya trianglar som saknar hypotenusa. Se figur. [2]

L-system konstruktion

Första åtta stegen i Lévy C-kurva
Lévy C-kurva (L-system efter 12 steg)

Vid konstruktion med hjälp av L-systemet bildas C-kurvan genom:

Variabel F
Vinkel 45°
Regel F → {\displaystyle \to } +F--F+

Där F innebär ett rakt streck, + innebär rotera medurs 45° och - innebär rotera moturs 45°. [3]

Hausdorffdimension

Hausdorffdimensionen hos Lévys C-kurva beräknades först av Duvall och Keesling 1998 till:

D = 1,934007183...

Senare räknade även Strichartz och Wang ut den till samma värde men med hjälp av ett annat tillvägagångssätt. [2]

Insidan av Lévy C-kurvan

Lévy bevisade att C-kurvan har en insida som byggs upp av ett stort antal små element. Alla dessa element är endimensionella och en bestämd längd. Det finns även en begränsad mängd element som C-kurvan består av.[2][1]

Se även

Lévy C-kurva variant (skapad med hjälp av IFS)
  • Fraktalkonst
  • Kaosteori
  • https://web.archive.org/web/20110719175937/http://www.mathlab.cornell.edu/~twk6/ komplement till "Inside the Levy Dragon"
  • http://www.wolframalpha.com/input/?i=levy+c-curve&f1=1&f=LevyFractal.n_1

Referenser

  • http://mathworld.wolfram.com/LevyFractal.html

Noter

  1. ^ [a b] S. Bailey, T. Kim, R. S. Strichartz, Inside the Lévy dragon, American Mathematical Monthly 109(8) (2002) pp 689–703
  2. ^ [a b c] Alster, E. 2010, "The finite number of interior component shapes of the Levy dragon", Discrete and Computational Geometry, vol. 43, no. 4, pp. 855-875.
  3. ^ ”Arkiverade kopian”. Arkiverad från originalet den 18 maj 2011. https://web.archive.org/web/20110518012330/http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/levy/levy.htm. Läst 9 maj 2011. 

Externa länkar

  • Wikimedia Commons har media som rör Lévys C-kurva.