Aristarchus eşitsizliği (Yunan gökbilimci ve matematikçi Sisamlı Aristarkus'tan sonra; MÖ 310 - MÖ 230), eğer
ile
dar açılar (0 ile dik açı arasında) ve
ise,
.
olduğunu belirten bir trigonometri yasasıdır. Batlamyus, kiriş tablosunu oluştururken bu eşitsizliklerden ilkini kullandı.[1]
İspat
Kanıt, daha bilinen eşitsizliklerin bir sonucudur:
,
ve
.
İlk eşitsizliğin kanıtı
Yukarıda belirtilen temel eşitsizlikleri kullanarak önce bunu kanıtlayabiliriz
.
İlk önce eşitsizliğin
'a eşdeğer olduğunu not ediyoruz, bu eşitsizlik;
olarak yeniden yazılabilir.
Şimdi bunu göstermek istiyoruz
.
İkinci eşitsizlik basitçe
'dir. İlki doğrudur çünkü:
.
İkinci eşitsizliğin kanıtı
Şimdi ikinci eşitsizliği göstermek istiyoruz, yani:
.
İlk olarak, temel eşitsizlikler nedeniyle şunlara sahip olduğumuzu not ediyoruz:
![{\displaystyle \beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d65db7d7802ead7f7d8157303e38a7d39756cb)
Sonuç olarak, önceki denklemde
eşitsizliğini kullanarak (
ile
ile değiştirerek) aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:
.
Nihayetinde aşağıdaki sonuca varıyoruz:
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1a370b15621d334a4c98ce60f3418ccbbbbe6cd)
Ayrıca bakınız
Notlar ve kaynakça
- ^ Toomer, G. J. (1998), Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, s. 54, ISBN 0-691-00260-6
Konuyla ilgili yayınlar
- Neugebauer, O. “Archimedes and Aristarchus.” Isis, vol. 34, no. 1, 1942, ss. 4–6. JSTOR, www.jstor.org/stable/225990.
- Howard L. Resnikoff, Raymond O. Wells, Jr., (2015), Mathematics in Civilization, 3rd Edition, s. 103, Dover Publications, 978-0486789224
- Alexander Toller, Freya Edholm, Dennis Chen, (2019), Proofs in Competition Math: Volume 1, s. 268, 978-1798611203
Dış bağlantılar
- Leibowitz, Gerald M. "Hellenistic Astronomers and the Origins of Trigonometry" (PDF). 27 Eylül 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF).
- "İlk Eşitsizliğin Kanıtı". 24 Haziran 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Şubat 2021.
- "İkinci Eşitsizliğin Kanıtı". 24 Haziran 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Şubat 2021.
- "The Almagest – Book I: Aristarchus' Inequality and the chords of 1º & 1/2º". 20 Mart 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Şubat 2021.
|
---|
Matematikçiler (Zaman Çizelgesi) | |
---|
Yapıtlar | - Almagest
- Arşimet Parşömeni
- Arithmetika
- Konikler (Apollonius)
- Katoptrik (Yansımalar)
- Data (Öklid)
- Elemanlar (Öklid)
- Bir Çemberin Ölçümü
- Konikler ve Sferoidler Üzerine
- Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Aristarchus)
- Büyüklükler ve Uzaklıklar Üzerine (Hipparchus)
- Hareketli Küre Üzerine (Autolycus)
- Öklid'in Optiği
- Sarmallar Üzerine
- Küre ve Silindir Üzerine
- Ostomachion (Syntomachion)
- Planisphaerium
- Sphaerics
- Parabolün Dörtgenleştirilmesi
- Kum Sayacı
- Sonsuz Küçükler Hesabı
|
---|
Merkezler | |
---|
Etkilendikleri | |
---|
Etkiledikleri | |
---|
Problemler | |
---|
Kavramlar/Tanımlar | |
---|
Bulgular | |
---|
|