Birleşme özelliği (küme teorisi) : İki kümenin birleşimi, Cebirsel özellikler, Sonlu birleşimler, Ayrıca bakınız Vikipedi: Özgür Ansiklopedi

Birleşme özelliği (küme teorisi)

{\displaystyle ~A\cup B} — İki kümenin birleşimi:
$~A\cup B$

{\displaystyle ~A\cup B\cup C} — Üç kümenin birleşimi:
$~A\cup B\cup C$

Küme kuramında, birleşme, bir kümenin tüm ögelerinin topluluğudur ve ∪ ile sembolize edilir.

İki kümenin birleşimi

A ve B kümelerinin birleşimi, A veya B deki veya hem A hem de B deki noktaların topluluğudur. İki kümenin birleşimi şöyle sembolize edilir;

A\cup B=\{x:x\in A\,\,\,{\textrm {or}}\,\,\,x\in B\}

Örneğin; A = {1, 3, 5, 7} ve B = {1, 2, 4, 6} ögelerinden oluşsun. Bu durumda A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Daha açık örnek; A ve B sonsuz iki küme olsun:

A = {x, 1'den büyük çift tam sayı}

B = {x, 1'den büyük tek tam sayı}

A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}

Eğer "x" tek bir ögeden oluşan değişken ve A veya B kümesinde ya da her ikisinde bulunan bir öge olursa, bu durumda x, birleşme ögesi olur.

Kümelerde çoklu ögeler bulunmaz. Bu yüzden, {1, 2, 3} ile {2, 3, 4} kümesinin birleşimi {1, 2, 3, 4}'dür. Kümede veya içinde birden fazla eş (aynı nitelikli) öge bulunursa, öge sayısına sadece tek biri etki eder. 9 sayısı, {2, 3, 5, 7, 11, …} asal sayılar kümesi ile {2, 4, 6, 8, 10, …} çift sayılar kümesinin birleşimi değildir. Çünkü bu iki kümeden hiçbirinin ögesi değildir.

Cebirsel özellikler

İkili birleşme, bir birleşmeli işlemdir. Şöyle sembolize edilir:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

İşlemler herhangi bir sıraya göre gerçekleştirilebilir. Parantezler göz ardı edilebilir. Örneğin; yukarıdaki sembolik eşitlik aynı zamanda şöyle yazılabilir: A ∪ B ∪ C). Benzer şekilde birleşme, değişmelidir. Bu yüzden kümeler herhangi bir sıraya göre yazılabilir.

Boş küme, birleşme işleminde bir birim ögedir. Herhangi bir A kümesi için, A ∪ ∅ = A.

Sonlu birleşimler

Birkaç küme eşzamanlı olarak birleşebilir. Örneğin; A, B ve C kümelerinin birleşimi, A nın tüm ögeleri, B nin tüm ögeleri ve c nin tüm ögelerinden oluşur. Örneğin x, ancak ve ancak, A, B ve C kümelerinden en az birinin ögesi ise bu durumda, "x, A ∪ B ∪ C nin ögesidir" denir.