Matematikte, Gauss sabiti, G ile gösterilir,1 ve karekök 2 aritmetik-geometrik ortalama'sının tersi olarak tanımlanır.
![{\displaystyle G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4465c718c568ab3bf68a61e65ecad2db32b9f67b)
sabit 30 Mayıs, 1799 da keşfetmiş olup Carl Friedrich Gauss'un adına atfedilmiştir.
![{\displaystyle G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce994f6c6a794b21fa039db0523babea96a7997)
so that
![{\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\beta ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}},{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a04b9d6f65d57f05e5bf1d0bf812feefcb89d90)
burada β beta fonksiyonu'dur.
Diğer sabitlerle ilişkisi
Gama fonksiyonu, Gauss sabitinin kapalı formu olarak kullanılırsa değişkene 1/4 verildiğinde :
![{\displaystyle \Gamma ({\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615a01898f36c8da37e1ef2aa8c1a003835ac0aa)
ve böylece π ve Γ(1/4) cebirsel olmayan sayılardır, Gauss sabiti aşkın sayıdır.
Lemniscate sabiti
Gauss sabiti lemniskat sabitinin tanımında kullanılır, birincisi:
![{\displaystyle L_{1}\;=\;\pi G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/314fbbe2f306a9aacdf1347643341a600153e0fa)
ve ikinci sabit:
![{\displaystyle L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3174f0abe1513e9e3be000fc22f4da114f3281)
Bununla bir lemniskat'ın yay uzunluğu bulunur. .
Diğer formüller
Jacobi teta fonksiyonu'nun bir formülünün terimlerinin içerisinde
verilir.
![{\displaystyle G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25decb1772acbceae31c0de8cc737a07e7bd8c9e)
gibi hızlı yakınsak serisi
![{\displaystyle G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa19577531f9b3da22813ac592a0c28c2145114e)
sonsuz çıkarım için
![{\displaystyle G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4dc860185a3a258ad7ccf8f2a515fb0c48ec9e)
Gauss's sabiti için sürekli kesir'de [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].sayıları vardır.
Kaynakça
- Eric W. Weisstein, Constant.html Gauss's Constant (MathWorld)
- Sequences A014549 and A053002 in OEIS
Carl Friedrich Gauss |
---|
| |
Kategori • Liste |