Простір T1

Простір $T_{1}$ — топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності $T_{1}$ . Іноді простори, що задовольняють цій умові також називаються просторами Фреше, але цей термін також використовується в інших значеннях.

Визначення

Топологічний простір $X$ називається простором $T_{1}$ , якщо для будь-яких двох різних точок $x,y\in X$ існує відкрита множина $U\subseteq X$ , така що $x\in U$ але $y\notin U$ .

Еквівалентно можна дати інші визначення, які разом дають основні властивості просторів:

Простір $X$ є простором $T_{1}$ тоді і тільки тоді, коли кожна одноточкова підмножина в $X$ є замкнутою.
Простір $X$ є простором $T_{1}$ тоді і тільки тоді, коли кожна його скінченна підмножина є замкнутою.
Простір $X$ є простором $T_{1}$ тоді і тільки тоді, коли кожна його коскінченна підмножина (доповнення до скінченної підмножини) є відкритою.
Простір $X$ є простором $T_{1}$ тоді і тільки тоді, коли кожна його підмножина рівна перетину всіх відкритих підмножин, що її містять.
Простір $X$ є простором $T_{1}$ тоді і тільки тоді, коли для кожної його підмножини S і кожної точки $x\in X\setminus S$ , x є граничною точкою множини S якщо і тільки якщо довільний відкритий окіл точки x містить нескінченну кількість точок з множини S.

Приклади і властивості

Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами $T_{1}$ і простори, що не є $T_{1}$ вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів $T_{1}$ є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором $T_{1}$ ; навпаки, кожен скінченний простір $T_{1}$ є дискретним.
Кожен гаусдорфів простір є простором $T_{1}$ .
Прикладом простору, що задовольняє аксіому $T_{1}$ , але не є гаусдорфовим є множина дійсних чисел з топологією де відкритими множинами є доповнення скінченних множин, а також $\emptyset$ і весь простір. Іншими важливими прикладами є топологія Зариського для алгебричних многовидів над алгебрично замкнутим полем, а також кокомпактна топологія на множині дійсних чисел.
Кожен простір $T_{1}$ є простором Т₀, проте є простори $T_{0}$ , які не є просторами $T_{1}$ . Наприклад, множина $X=\{a,b\}$ з топологією $\tau _{0}={\big \{}\emptyset ,X,\{a\}{\big \}}$ є простором $T_{0}$ , але не $T_{1}$ . Іншим таким прикладом є топологія перекривних інтервалів. Також спектр кільця із топологією Зариського є простором $T_{0}$ але в загальному випадку не є простором $T_{1}$ .
Підмножина простору $T_{1}$ з індукованою топологією є простором $T_{1}$ .
Декартовий добуток просторів $T_{1}$ теж є простором $T_{1}$ .