Định lý Pascal

*Đường thẳng Pascal* *GHK* của lục giác nội tiếp một Elip *ABCDEF*. Các cạnh đối diện của một hình lục giác có cùng màu sắc.

Định lý Pascal (còn được biết đến với tên định lý lục giác huyền bí) là một định lý trong hình học phẳng đặt theo tên nhà toán học người Pháp là Blaise Pascal. Nội dung định lý khẳng định rằng cho sáu điểm bất kỳ $ABCDEF$ trên một conic (ví dụ elip, parabol hoặc hyperbol) khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện thẳng hàng. Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal.

Chứng minh

Có nhiều cách chứng minh cho định lý này, ví dụ chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ceva, định lý Menelaus, sử dụng số phức, hoặc bằng các phương pháp tọa độ.

Kết quả liên quan

Định lý Kirman: Đường thẳng Pascal của các lục giác $ABFDCE,AEFBDC$ và $ABDFEC$ đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Kirman, tổng cộng có 60 điểm Kirman, trong đó có 3 điểm Kirman và một điểm Steiner nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Cayley ^[1]^[2]^[3]
Định lý Steiner: Đường thẳng Pascal của các lục giác $ABCDEF,ADEBCF$ và $ADCFEB$ đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Steiner, tổng cộng có 20 điểm Steiner, trong đó có 1 điểm Steiner và ba điểm Kirman nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Caley ^[1]^[4]^[5]
Điểm Salmon: Tổng cộng có 20 đường thẳng Caley, bốn đường thẳng Caley sẽ đồng quy tại một điểm gọi là điểm Salmon. Mỗi một điểm Salmon lại đối ngẫu với một đường thẳng gọi là đường thẳng Plücker.^[6]

Mở rộng và suy biến

Mở rộng

Định lý Cayley–Bacharach: Cho hai đường bậc ba C₁ và C₂ trong mặt phẳng xạ ảnh gặp nhau tại 9 điểm, tất cả chín điểm này đều nằm trong trường đóng đại số. Khi đó tất cả các đường bậc ba đi qua 8 điểm thì cũng đi qua điểm thứ 9.^[7]

Suy biến

Định lý Pappus: Trường hợp đường conic suy biến thành hai đường thằng thì định lý Pascal trở thành định lý Pappus.
Trường hợp lục giác suy biến thành ngũ giác: Cho ngũ giác $ABCDF$ nội tiếp một đường conic, $M$ là giao điểm của tiếp tuyến của đường conic tại $A$ giao và đường thẳng $DF$ , $N$ là giao điểm của đường thẳng AB giao với đường thẳng $CD,P$ là giao điểm của đường thẳng $BF$ và đường thẳng $AC$ . Thì $M,N,P$ thẳng hàng.
Trường hợp lục giác suy biến thành tứ giác: Cho tứ giác $ABCD$ nằm trên một đường conic, M là giao điểm của tiếp tuyến của đường conic tại $A$ và tiếp tuyến đường conic tại $B$ . $N$ là giao điểm của $AC$ và $BD,P$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ , thì $M,N,P$ thẳng hàng.
Trường hợp lục giác suy biến thành tam giác: Cho tam giác ABC tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $A,B,C$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_{1},B_{1},C_{1}$ khi đó $A_{1},B_{1},C_{1}$ thẳng hàng.

Tính chất của lục giác và đường thẳng Pascal

Cho lục giác $ABCDEF$ , gọi $G=AB\cap DE$ , $H=AF\cap CD$ , $K=EF\cap CB$ như hình vẽ đầu tiên. Khi đó sáu đỉnh của lục giác nội tiếp một đường conic nếu và chỉ nếu $G,H,K$ thẳng hàng. Hai điều kiện đó tương đương với một hệ thức sau đây:^[8]

{\frac {\overline {GB}}{\overline {GA}}}\times {\frac {\overline {HA}}{\overline {HF}}}\times {\frac {\overline {KF}}{\overline {KE}}}\times {\frac {\overline {GE}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {HD}}{\overline {HC}}}\times {\frac {\overline {KC}}{\overline {KB}}}=1.

Xem thêm

Chú thích

^ ^a ^b Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 236-237, 1929.
^ Cremona, L. "Osservazioni sull'hexagrammum mysticum." Transunti della R. Acc. Nazionale dei Lincei 1, 142-143, 1876-77.
^ ohnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 236-237, 1929.
^ Steiner, J. "Questions proposées. Théorèmes sur l'hexagramum mysticum." Ann. Math. 18, 339-340, 1827-1828.
^ Salmon, G. "Notes: Pascal's Theorem, Art. 267" in A Treatise on Conic Sections, 6th ed. New York: Chelsea, pp. 379-382, 1960.
^ http://mathworld.wolfram.com/SalmonPoints.html
^ A. Cayley, On the Intersection of Curves (published by Cambridge University Press, Cambridge, 1889).
^ “A Property of Pascal's Hexagon Pascal May Have Overlooked”. ngày 3 tháng 2 năm 2014.

Tham khảo

Biggs, N. L. (1981), “T. P. Kirkman, mathematician”, The Bulletin of the London Mathematical Society, 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97, MR 0608093

Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967), Geometry Revisited, Washington, DC: Mathematical Association of America, tr. 76
Guggenheimer, Heinrich W. (1967), Plane geometry and its groups, San Francisco, Calif.: Holden–Day Inc., MR 0213943
Mills, Stella (tháng 3 năm 1984), “Note on the Braikenridge–Maclaurin Theorem”, Notes and Records of the Royal Society of London, The Royal Society, 38 (2): 235–240, doi:10.1098/rsnr.1984.0014, JSTOR 531819
Pascal, Blaise (1640). “Essay povr les coniqves” (facsimile). Niedersächsiche Landesbibliothek, Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek. Truy cập ngày 21 tháng 6 năm 2013.

Smith, David Eugene (1959). A Source Book in Mathematics. New York: Dover. ISBN 0-486-64690-4.
Stefanovic, Nedeljko (2010). A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications (PDF). Indian Academy of Sciences.
Wells, David (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin Books. ISBN 0-14-011813-6.
Young, John Wesley (1930). Projective Geometry. The Carus Mathematical Monographs, Number Four. The Mathematical Association of America.
van Yzeren, Jan (1993). A simple proof of Pascal's hexagon theorem. The American Mathematical Monthly. 100. Mathematical Association of America. tr. 930–931. doi:10.2307/2324214. ISSN 0002-9890. JSTOR 2324214. MR 1252929.

Liên kết ngoài

Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) tại Cut-The-Knot
60 Pascal Lines (Java required) tại Cut-The-Knot
The Complete Pascal Figure Graphically Presented Lưu trữ 2012-11-29 tại Archive.today by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 891 kB), Uni Darmstadt, S. 29-35.