Dao động tử điều hòa

Các dao động tử điều hòa là lượng tử cơ học tương tự của các dao động điều hòa trong lĩnh vực Vật lý. Bởi vì một tùy ý tiềm năng thường có thể được coi như là một sự hài hòa tiềm năng tại khu vực của một ổn định điểm cân bằng, đó là một trong những quan trọng nhất mẫu hệ thống ở cơ học lượng tử. Hơn nữa, một trong số ít lượng tử-hệ thống cơ khí mà một tính toán chính xác, được phân tích giải pháp được biết đến.^[1][2][3]

Một chiều dao động tử điều hòa

Hamilton và Năng lượng trạng thái riêng

Các Hamilton của hạt là:

Công thức như sau

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$

Một người có thể viết thời gian độc lập phương trình Schrödinger,

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}$

Các hàm H_n là các đa thức Hermite,

${\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}$

Tương ứng năng lượng được

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)=(2n+1){\hbar \over 2}\omega ~.}$

Phương pháp Toán tử bậc thang

Các toán tử bậc thang, được phát triển bởi Paul Dirac, cho phép tìm lời giải cho vấn đề năng lượng với giá trị riêng mà trực tiếp giải quyết các phương trình vi phân. Đó là khái quát cho một công thức phức tạp, đặc biệt là trong lĩnh vực lượng tử lý thuyết. Sau này, chúng tôi xác định khai thác a và dạng liên hợp của nó a^†,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$

Dẫn tới một biểu thức hữu dụng như sau ${\displaystyle {\hat {x}}}$ and ${\displaystyle {\hat {p}}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}$

Toán tử a không phải là một toán tử Hermitian, vì nó và dạng liên hợp a^† không đồng nhất. Năng lượng của các trạng thái riêng {{Math|Bản mẫu:Ket sinh ra bởi tác dụng của các toán tử bậc thang lên các trạng thái riêng này.

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$

Một số đại lượng

Chu kỳ dao động T là khoảng thời gian để thực hiện 1 dao động toàn phần.

Tần số dao động f là số dao động toàn phần có thể thực hiện trong 1 giây.

Chu kỳ và tần số của dao động là nghịch đảo của nhau. Ta có ${\displaystyle Tf=1}$

Ly độ của dao động điều hòa

Ly độ của dao động điều hòa được biểu diễn bởi phương trình ${\displaystyle x=A\cos(\omega t+\varphi )}$ trong đó

• A là biên độ dao động
• ${\displaystyle \omega =2\pi f={\frac {2\pi }{T}}}$ là tần số góc của dao động
• ${\displaystyle \varphi }$ là pha ban đầu của dao động

Tham khảo

Liên kết ngoài

• Điều Hòa Lượng Tử Dao Động
• Lý do cho lựa chọn thang khai thác
• Sống 3D cường độ âm mưu của lượng dao động điều hòa Lưu trữ 2011-07-12 tại Wayback Machine
• Hướng và hãm lượng dao động điều hòa (bài giảng của nhiên "quang học lượng tử trong các mạch điện") Lưu trữ 2016-03-04 tại Wayback Machine