エーレンフェストの定理(エーレンフェストのていり、英: Ehrenfest's theorem[1])は、量子力学における重要な定理のひとつで、大まかにいえば『シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで古典力学における運動方程式(に大変よく似たもの)が得られる』ことを主張している。この定理はオランダの物理学者ポール・エーレンフェストにより提唱され、量子力学と古典力学の対応を論じるときによく用いられる。
定理の主張
ポテンシャル
の影響下にある質量
の粒子Aの状態が、波動関数
であらわされているものとする。この状態にある粒子A(およびそれと同じ状態にある複数の粒子)の位置
を測定した場合に得られる『観測値の期待値』をそれぞれ
、
、
とする。このとき、
![{\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle x\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial x}}\right\rangle \\m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle y\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial y}}\right\rangle \\m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle z\rangle &=-\left\langle {\frac {\partial U}{\partial z}}\right\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6746e12e2877624ea7de8489e884bea3cb568bfc)
が成立する。なお、ここでは波動関数は規格化されているものとする。また、ここで、期待値を導き出す操作
は、通常量子力学で行われている方法どおりで
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\langle x\rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} )x\psi (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&\left\langle {\frac {\partial U}{\partial x}}\right\rangle =\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ){\frac {\partial U}{\partial x}}\psi (\mathbf {r} )\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1f6d67ecf7573cd9695efe8f35780d71fedc85)
とする。他も同様である。
証明
まず、期待値の定義より
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle &={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\mathbf {r} \psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7b88d10fbf241aae3dc059e3c688cfc10a7a72)
を得る。ここでシュレーディンガー方程式より
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[-\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \left\{{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&={\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi -\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9989d2a7f2a055b9a5175329c464e823495f9bef)
部分積分と、積分範囲が空間全体にわたること、及び波動関数は無限遠では0となるという仮定を用いると
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\mathbf {r} \psi \ \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\mathbf {r} \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \psi )]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{2}(\mathbf {r} \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla (\nabla \mathbf {r} \psi +\mathbf {r} \nabla \psi )\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[\psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla (\mathbf {r} \nabla \psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[2\psi ^{*}\nabla \psi +\psi ^{*}\mathbf {r} \nabla ^{2}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bab31bb537e095526df17ce120c59f4957d61c0a)
これらを用いると
![{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int \psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} =-i\hbar \int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1bfc90f6eb42a9fd4041db52417b0c292e6d2f)
再度シュレーディンガー方程式を用いて
![{\displaystyle {\begin{aligned}-i\hbar \int \left[{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right]\mathrm {d} \mathbf {r} &=-i\hbar \int \left[-{\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi ^{*})\nabla \psi +\psi ^{*}\nabla {\frac {1}{i\hbar }}({\hat {H}}\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \left[\left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla \left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int \left[\nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \right]\mathrm {d} \mathbf {r} +\int \left[U(\mathbf {r} )\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U(\mathbf {r} )\psi )\right]\mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9ec875a1414293c75d4861631c7ae80b1c9dbb)
また部分積分を使うと、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \nabla ^{2}\psi ^{*}\nabla \psi \mathrm {d} \mathbf {r} &=[\nabla \psi ^{*}\nabla \psi ]_{-\infty }^{+\infty }-\int \nabla \psi ^{*}\nabla ^{2}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=-[\psi ^{*}\nabla ^{2}\psi ]_{-\infty }^{+\infty }+\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \\&=\int \psi ^{*}\nabla ^{3}\psi \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2932581257d2dbeaa28159ebffb6e6a85b5b89)
加えて
![{\displaystyle {\begin{aligned}U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla (U\psi )&=U\psi ^{*}\nabla \psi -\psi ^{*}\nabla U\psi -U\psi ^{*}\nabla \psi \\&=-\psi ^{*}\nabla U\psi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63f5f4b2c1895a89f9703851086a5b05ac25976f)
を用いると、
![{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\int \psi ^{*}\nabla U\psi \mathrm {d} \mathbf {r} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e42816111c37e340e4b953f65ff64a64f35512)
を得る。この右辺の積分は、期待値の導出法から
の期待値であるから、
![{\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\langle \mathbf {r} \rangle =-\langle \nabla U\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36350d81b6fbe55b7a7a2421c9852eb173fc732)
となる。
脚注
[脚注の使い方]
- ^ 文部省、日本物理学会編『学術用語集 物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi。
関連項目
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