カッシーニの卵形線

本文の式で
   a = 1 , b = 1 {\displaystyle a=1,b=1}
   a = 1 , b = 1.2 {\displaystyle a=1,b=1.2}
   a = 1 , b = 1.4 {\displaystyle a=1,b=1.4}
   a = 1 , b = 1.6 {\displaystyle a=1,b=1.6}
本文の式で
   a = 1 , b = 1 {\displaystyle a=1,b=1}
   a = 1.1 , b = 1 {\displaystyle a=1.1,b=1}
   a = 1.2 , b = 1 {\displaystyle a=1.2,b=1}
   a = 1.3 , b = 1 {\displaystyle a=1.3,b=1}

カッシーニの卵形線（カッシーニのらんけいせん、英語: Cassinian oval）は、直交座標の方程式 ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 b 2 ( x 2 − y 2 ) − ( a 4 − b 4 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2b^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-b^{4})=0} によって表される四次曲線である。

性質

x軸、y軸に対して線対称である。

  • a < bのとき2つのまるいループに分かれる。
( a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) , ( − − a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),({\sqrt {-a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {-a^{2}+b^{2}}},0)} の4点でx軸と交わる。
( a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) , ( 0 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(0,0)} の3点でx軸と交わる。
  • a > bのとき1つのループからなる。
( a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} の2点でx軸と交わる。

軌跡

2つの定点(-b,0),(b,0)に対して、動点P(x,y)を考える。 2つの定点からPへのそれぞれ距離の積が a 2 {\displaystyle a^{2}} であるようなPの軌跡がカッシーニの卵形線になる。

すなわち ( x + b ) 2 + y 2 ( x − b ) 2 + y 2 = a 2 {\displaystyle {\sqrt {(x+b)^{2}+y^{2}}}{\sqrt {(x-b)^{2}+y^{2}}}=a^{2}} となり、この式の両辺を2乗してから変形すると、冒頭の定義式が得られる。

外部リンク

  • Cassini Ovals -- from Wolfram MathWorld