カージオイド

カージオイド（英: cardioid）は、極座標の方程式

${\displaystyle r=a(1+\cos \theta )}$

によって表される曲線である。心臓形（しんぞうけい）とも呼ばれる。心臓に似た形のためこの名称が付いた（ギリシア語: καρδιοειδής, kardioeides) =「καρδιά (kardia, 心臓）」 + 「είδος (eidos, 形）」）。

直交座標の方程式では

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-2ax)-a^{2}y^{2}=0}$

で、媒介変数表示では

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a(1+\cos \theta )\cos \theta ,\\y&=a(1+\cos \theta )\sin \theta \end{aligned}}}$

で、それぞれ表される。

エピサイクロイドの一種と見なすことができる。またパスカルの蝸牛形 (Limaçon de Pascal) の一種と見なすこともできる。

x軸に対して線対称で、尖点は原点Oである。x軸とは原点Oと (2a, 0) で、y軸とは (0, a) と (0, -a) で交わる。x軸から最も離れた点の座標は

${\displaystyle \left({\frac {3}{4}}a,{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}a\right),\left({\frac {3}{4}}a,-{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}a\right)}$

である。

曲線で囲まれる面積S と曲線の弧長l は

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {3}{2}}\pi a^{2},\\l&=8a\end{aligned}}}$

である。

外部リンク

• 日本大百科全書(ニッポニカ)『カージオイド』 - コトバンク
• 『カージオイド曲線のグラフ，面積，長さ』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. "Cardioid". mathworld.wolfram.com (英語).