トラクトリックス トラクトリックス (tractrix) は直交座標 の方程式
x = a ln a ± a 2 − y 2 y ∓ a 2 − y 2 = a c o s h − 1 ( a y ) ∓ a 2 − y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ln {\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}}{y}}\mp {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\\&=a\,{\rm {cosh}}^{-1}\left({\frac {a}{y}}\right)\mp {\sqrt {a^{2}-y^{2}}}\end{aligned}}} によって表される曲線 である。
媒介変数による表示 ポール を引きずることによってできるトラクトリックスの軌跡。媒介変数表示 では
x = a ( ln tan θ 2 + cos θ ) , y = a sin θ {\displaystyle x=a\left(\ln \tan {\frac {\theta }{2}}+\cos \theta \right),\;y=a\sin \theta } と表される。ここで、座標原点に犬 の飼い主が、y軸上の点 (0, a) に長さ a のリード につながれた犬が居たとするとき、飼い主がx軸上を移動した際に、リードの伸縮が全くないと仮定した場合に犬が移動する軌跡がトラクトリックスになる。 θ {\displaystyle \theta } 牽引線 （けんいんせん）、引弧線 、犬曲線 、追跡線 などとも称される。
あるいは、 ϑ = θ + π 2 {\displaystyle \vartheta =\theta +{\frac {\pi }{2}}}
x = a ( gd − 1 ϑ − sin ϑ ) , y = a cos ϑ {\displaystyle x=a\left(\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta -\sin \vartheta \right),\;y=a\cos \vartheta } と表される。ただし、 gd − 1 ϑ {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\vartheta } グーデルマン関数 の逆関数 である。 さらに、 t = gd − 1 ϑ {\displaystyle t=\operatorname {gd} ^{-1}\vartheta }
x = a ( t − tanh t ) , y = a sech t {\displaystyle x=a\left(t-\tanh t\right),\;y=a\operatorname {sech} t} と表すこともできる。
特徴 カテナリーの伸開線としてのトラクトリックス トラクトリックスの縮閉線 としてのカテナリー カテナリー の伸開線 に相当し、y軸に対して線対称 であり、x軸を漸近線 に持つ。尖点 は (0, a)。区間 x 1 ≤ x ≤ x 2 {\displaystyle x_{1}\leq x\leq x_{2}} 弧長 は a ln x 2 x 1 {\displaystyle a\ln {\frac {x_{2}}{x_{1}}}} トラクトリックスとその漸近線で囲まれる領域の面積 は π a 2 2 {\displaystyle {\frac {\pi a^{2}}{2}}} [1] トラクトリックス上の尖点以外の任意の点をP、Pにおける曲率中心 をO、線分OPの延長とx軸との交点をQとするとき、OP・PQは一定となり、その値は a 2 {\displaystyle a^{2}} 脚注 [脚注の使い方 ]
^ ∫ − ∞ ∞ y d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }ydx} マミコンの定理（英語版） を使えば、長さaの棒が半回転する際に掃く面積に相当することが示される。 参考文献 オスターマン, A.、ヴァンナー, G. 著、蟹江幸博 訳『幾何教程』 下、丸善出版、2017年11月。ISBN 978-4-621-30212-5。 Apostol, Tom M.、Mnatsakanian, Mamikon A. 著、川辺治之 訳『Aha! ひらめきの幾何学―アルキメデスも驚くマミコンの定理―』共立出版、2016年8月。ISBN 978-4-320-11138-7。 ウィキメディア・コモンズには、トラクトリックス
