ベルヌーイ試行

確率論や統計学において、ベルヌーイ試行（ベルヌーイしこう、英語: Bernoulli trial）または二項試行（にこうしこう、英語: binomial trial）とは、取り得る結果が「成功」「失敗」の2つのみであり、各試行において成功の確率が同じであるランダム試行である^[1]。この名前は、17世紀のスイスの数学者であるヤコブ・ベルヌーイにちなんで名付けられた。ベルヌーイは、1713年の著書『推測法（英語版）』(Ars Conjectandi)でこの試行を分析した^[2]。

ベルヌーイ試行の数学的形式化をベルヌーイ過程という。本項目ではベルヌーイ試行の基本的な概念を説明する。より高度な処理についてはベルヌーイ過程を参照のこと。

ベルヌーイ試行の結果は2つしかないため、以下のような「はい」か「いいえ」かで答えられる質問として組み立てることができる。

切ったトランプの山の一番上のカードはエースであるか?
サイコロを振ったときの出目は6であるか?

すなわち、結果の「成功」「失敗」とは単なるラベルであり、文字通りの意味として解釈されるべきではない。この場合の「成功」という用語は、道徳的な判断ではなく、結果が指定された条件に合致するかどうかを意味する。

より一般的には、特定の事象（結果の集合）についての任意の確率空間が与えられたとき、その事象が発生したかどうか（事象または余事象）に対応するベルヌーイ試行を定義できる。ベルヌーイ定義の例として、以下のものが挙げられる。

コイントスをし、表が出たときを「成功」、裏が出たときを「失敗」とした場合。公正なコインを使用した場合、成功の確率は1/2である。この例の場合、取り得る結果は表・裏の2通りしかない。
サイコロを振って、出た目が6のときを「成功」、それ以外の目が出たときを「失敗」とした場合。公正なサイコロを使用した場合、成功の確率は1/6である。この例の場合、取り得る結果は6通りで、「成功」の事象（6が出る）は1通り、余事象（6以外が出る）は5通りである。
世論調査を実施する際に、有権者をランダムに選択して、その有権者が今後の国民投票で「はい」と投票するかを確認する場合。

定義

取り得る結果が正確に2つである試行を繰り返し実施し、各試行が独立している場合、この試行をベルヌーイ試行という。結果のうちの1つを「成功」、それ以外の結果を「失敗」と呼ぶ。ここで、1回のベルヌーイ試行で成功する確率を $p$ 、失敗する確率を $q$ とする。このとき、失敗は成功の余事象であるため、成功の確率と失敗の確率を合計すると1になる。「成功」と「失敗」は相互排他的（英語版）かつ網羅的（英語版）（MECE）である。従って、次式の関係がある。

p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1

これらはオッズの観点で記述することもできる。成功の確率 p と失敗の確率 q を与えたとき、成功のオッズ $o_{f}$ (odds for)は $p:q$ 、失敗のオッズ $o_{a}$ (odds against)は $q:p$ である。次式のようにこれを割り算と解釈すると、数値として表現できる。

{\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q)\end{aligned}}

これらは互いに逆数であり、掛けると1になる。

o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}\cdot o_{a}=1

あるベルヌーイ試行が、有限回の同様に確からしい結果における事象を表しており、成功が S 回、失敗が F 回であった場合、成功のオッズは $S:F$ 、失敗のオッズは $F:S$ である。これにより、確率とオッズについて次の式が得られる。

{\begin{aligned}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S\end{aligned}}

ここで、確率ではなく結果の数を除算することでオッズを計算しているが、これらの比率は両方の項に同じ定数係数を乗算することのみが違うため、比率は同じである。

ベルヌーイ試行を記述する確率変数は、多くの場合、1 =「成功」、0 =「失敗」という規則を使用してエンコードされる。

二項試行は、ベルヌーイ試行に密接に関連している。独立したベルヌーイ試行の回数を $n$ 、それぞれの成功の確率を $p$ とし、成功数をカウントする。二項試行に対応する確率変数は $B(n,p)$ で示され、二項分布を持つ。試行 $B(n,p)$ において成功が $k$ 回であったときの確率は次式で与えられる。

P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}

ここで、 ${n \choose k}$ は二項係数である。

また、ベルヌーイ試行は、負の二項分布（一連の繰り返されるベルヌーイ試行において、指定された数だけ失敗するまでの成功数の分布）などの様々な確率分布につながる。

複数のベルヌーイ試行が実行され、それぞれに別の成功の確率がある場合、これをポアソン試行（英語版）という^[3]（ポアソン二項分布も参照）。

例：コイントスの場合

公正なコインを4回投げて、表が出る回数が2回となる確率を考える。

解

この試行では、表が出ること「成功」、裏が出ることを「失敗」と定義する。コインは公正であると想定されているため、成功の確率 p は $p={\tfrac {1}{2}}$ である。従って、失敗の確率 $q$ は次式で与えられる。

q=1-p=1-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}

上記の式を使用して、4回のコイントスのうち表が出る回数が2回となる確率は、次式のように求められる。

{\begin{aligned}P(2)&={4 \choose 2}p^{2}q^{2}\\&=6\times ({\tfrac {1}{2}})^{2}\times ({\tfrac {1}{2}})^{2}\\&={\dfrac {3}{8}}\end{aligned}}

脚注

^ Papoulis, A. (1984). "Bernoulli Trials". Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (2nd ed.). New York: McGraw-Hill. pp. 57–63.
^ James Victor Uspensky: Introduction to Mathematical Probability, McGraw-Hill, New York 1937, page 45
^ Rajeev Motwani and P. Raghavan. Randomized Algorithms. Cambridge University Press, New York (NY), 1995, p.67-68

外部リンク

ウィキメディア・コモンズには、ベルヌーイ試行に関連するカテゴリがあります。

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Bernoulli trials”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bernoulli_trials
“Simulation of n Bernoulli trials”. math.uah.edu. 2014年1月21日閲覧。

確率論

確率の歴史

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基礎概念

モデル	試行結果事象標本空間確率測度確率空間
確率変数	確率変数の収束
確率分布	離散確率分布連続確率分布同時分布周辺分布条件付き確率分布独立同分布
関数	確率質量関数確率密度関数累積分布関数特性関数
用語	独立期待値モーメント条件付き確率条件付き期待値