ポアンカレ群

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ポアンカレ群（ポアンカレぐん、英語: Poincaré group）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元の非コンパクトリー群である。

ポアンカレ変換

ポアンカレ変換とは、ミンコフスキー空間における等長変換である。 等長変換においては内積が保存される。

ポアンカレ変換は並進とローレンツ変換からなる。

座標変換

ミンコフスキー空間の座標 x に対する並進とローレンツ変換は以下のようになる。

並進
x μ → x ′ μ = x μ + a μ {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=x^{\mu }+a^{\mu }}
ローレンツ変換
x μ → x ′ μ = Λ μ ν x ν {\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}

ここで、a, Λ は変換のパラメータである。

生成子

並進の生成子 P は運動量、ローレンツ変換の生成子 M は角運動量である。 ミンコフスキー空間上の関数（スカラー場）φ(x) を考えると

i [ P μ , ϕ ( x ) ] = ∂ μ ϕ ( x ) {\displaystyle i[P_{\mu },\phi (x)]=\partial _{\mu }\phi (x)}

i [ M μ ν , ϕ ( x ) ] = x μ ∂ ν ϕ ( x ) − x ν ∂ μ ϕ ( x ) {\displaystyle i[M_{\mu \nu },\phi (x)]=x_{\mu }\partial _{\nu }\phi (x)-x_{\nu }\partial _{\mu }\phi (x)}

となる。

ポアンカレ代数

ポアンカレ代数とはポアンカレ群のリー代数で、次の交換関係をみたす。

[ P μ , P ν ] = 0 {\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0}

[ M μ ν , P ρ ] = i ( η μ ρ P ν − η ν ρ P μ ) {\displaystyle [M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i(\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu })}

[ M μ ν , M ρ σ ] = i ( η μ ρ M ν σ − η ν ρ M μ σ − η μ σ M ν ρ + η ν σ M μ ρ ) {\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })}

関連項目

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