ワイエルシュトラス関数

ワイエルシュトラスのペー関数については「ヴァイエルシュトラスの楕円函数」をご覧ください。

ワイエルシュトラス関数（ワイエルシュトラスかんすう、英: Weierstrass function）は、1872年にカール・ワイエルシュトラスにより提示された実数関数で、連続関数であるにもかかわらず至るところ微分不可能な関数である。病的な関数（英語版）の例として取り上げられることがある。

「孤立点を除くと連続関数は微分可能である」という認識を変えた出版された初めての例として、ワイエルシュトラス関数は歴史的に重要である。

ワイエルシュトラスのオリジナル論文において、この関数は次のように定義される。

w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x).

ここで、0 < a < 1, b は正の奇数整数。また、

ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .

この定義は、微分不可能であることの証明とともに、1872年7月18日にプロイセン科学アカデミー (Königliche Akademie der Wissenschaften) へ提出された。

ハウスドルフ次元は次のとおりとなる^[1]。

D_{H}=2+{\frac {\log {a}}{\log {b}}}

ワイエルシュトラス関数では和をn ≥ 0 についてのみとるため厳密にはスケール不変とはならない。

{\begin{aligned}w(bx)&=b^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }b^{n+1}\cos {(b^{n+1}\pi x)}\\&=b^{-1}\sum _{n=-1}^{\infty }b^{n+1}\cos {(b^{n+1}\pi x)}-b^{-1}b^{0}\cos(b^{0}\pi x)\\&=b^{-1}\left[w(x)-\cos \pi x\right]\\&\neq b^{-1}w(x)\end{aligned}}

したがって、厳密な意味での自己相似性をもたない。

ワイエルシュトラス関数のリプシッツ定数は無限大。

ワイエルシュトラス・マンデルブロ関数

ブノワ・マンデルブロは、ワイエルシュトラス関数を一般化した次のワイエルシュトラス・マンデルブロ関数 (英:Weierstrass-Mandelbrot function)を提示^[2]した。

W(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(1-e^{i\gamma ^{n}t})e^{i\phi _{n}}}{\gamma ^{(2-D)n}}}

ここで、 1 < D < 2, γ > 1 である。

これは、φ = 0として実部をとるとワイエルシュトラス関数となる。

\operatorname {Re} W(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(\gamma ^{n}t)}{\gamma ^{(2-D)n}}}

ハウスドルフ次元は D と考えられているが厳密な証明はなされていない。

ただし、φ_n = μn、不変となるものを離散的スケール不変性(DSI, Discrete Scale Invariance)という。

{\begin{aligned}V(\tau )&=\langle W(t+\tau )-W(t)\rangle _{e}=2\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1-\cos(\gamma ^{n}\tau )}{\gamma ^{(4-2D)n}}},\\V(\gamma \tau )&=\gamma ^{4-2D}V(\tau )\end{aligned}}

パワースペクトルはおおよそ次の近似式で表すことができる。

S(\omega )\approx {\frac {1}{\omega ^{5-2D}\log {\gamma }}}

すなわち、D → 2 のとき1/fゆらぎに近づく。

ワイエルシュトラス・マンデルブロ関数(WMF)は、次のようにさらに一般化することができる^[3]。

W_{g}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\lambda ^{-nH}(g(0)-g(\lambda ^{n}t))e^{i\phi _{n}}

ここで、H < 1、g (t) は t = 0 で微分可能な周期関数。

^ Hunt, Brian (1998-03). “The Hausdorff dimension of graphs of Weierstrass functions”. Proceedings of the American mathematical society 126 (3): 791-800. doi:10.1090/S0002-9939-98-04387-1. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04387-1.
^ On the Weierstrass-Mandelbrot Fractal Function, Berry, M. V.; Lewis, Z. V., Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Volume 370, Issue 1743, pp. 459-484
^ Courbes et Dimension Fractale, C. Tricot, Springer,1993

(英語)

B.R. Gelbaum and J.M.H. Olmstead, Counterexamples in Analysis, Holden Day Publisher (June 1964).
Karl Weierstrass, Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Collected works; English translation: On continuous functions of a real argument that do not have a well-defined differential quotient, in: G.A. Edgar, Classics on Fractals, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, 3-9.
G.H. Hardy, Weierstrass's nondifferentiable function, Trans. Amer. Math. Soc., 17(1916), 301-325.
K. Falconer, The Geometry of Fractal Sets, Oxford (1984).

(日本語)

小柴洋一「Weierstrass論文「至る所微分不可能である連続関数の例」について (数学史の研究)」『数理解析研究所講究録』第1195巻、京都大学数理解析研究所、2001年4月、62-66頁、CRID 1050001202174672768、hdl:2433/64842、ISSN 1880-2818。