射影被覆

数学において、射影被覆（しゃえいひふく、英: projective cover）とは、射影加群 P と加群 M へ全射準同型写像 P → M の組のうちで、核が‘最小’になるもののことをいう（#定義）。

動機

任意の加群 M はある射影加群 P の全射準同型像である[1]。

π : P ↠ M {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}

したがって準同型定理より

P / ker ⁡ π = M {\displaystyle P/\ker \pi =M}

である。 そこで加群 M を ker π が‘最小’になるように選んで、射影加群 P で‘近似’したものを射影被覆という。 より正確には P のすべての部分加群 L に対して

ker ⁡ π + L = P ⟹ L = P {\displaystyle \ker \pi +L=P\implies L=P}

が成り立つとき、π : P → M は射影被覆であるという。

定義

R を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。

加群 N の部分加群 K が N の余剰部分加群（superfluous submodule, small submodule）であるとは、すべての N の部分加群 L に対して

K + L = N ⟹ L = N {\displaystyle K+L=N\implies L=N}

が成り立つことをいう[2]。また全射 π : N → M の核 ker π が N の余剰部分加群であるとき、π は余剰全射（superfluous epimorphism）であるという[3]。 射影加群 P と加群 M への全射

π : P ↠ M {\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}

の組 (P, π) が 射影被覆 であるとは、π が余剰全射であることをいう[4]。このことを P が射影被覆であるといったり、 π : P → M が射影被覆であるといったりすることもある。

性質

一意性

一般に加群の射影被覆が存在するとは限らない[5]。（けれども、たとえばアルティン環上の加群に対しては存在する[6]。） もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。

補題[4]
p : P → M が射影被覆であるとする。もし Q が射影加群で、全射 q : Q → M があれば、 Q = P ⊕ R となる ker q の部分加群 R が存在して、制限 q|P : P → M は射影被覆である。

直和

pi: Pi → Mi (1 ≤ i ≤ n) が射影被覆ならば、 (⊕pi): ⊕Pi → ⊕Mi も射影被覆である[5]。

既約加群の射影被覆

P をゼロでない射影加群とする。 射影加群 P がある既約加群の射影被覆である必要十分条件は、 P のゼロでないすべての商加群が直既約であることである[5]。

脚注

  1. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 199, Proposition 17.15.
  2. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 72.
  3. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 73.
  4. ^ a b Anderson & Fuller 1992, p. 199.
  5. ^ a b c Anderson & Fuller 1992, p. 203.
  6. ^ 岩永 & 佐藤 2002, p. 253.

参考文献

  • Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992). Rings and Categories of Modules. Graduate texts in mathematics. 13 (Second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97845-3. MR1245487. Zbl 0765.16001. https://books.google.co.jp/books?id=MALaBwAAQBAJ 
  • 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。ISBN 4-535-78367-5。http://www.nippyo.co.jp/book/1984.html。  数学 sugaku1947.58.413

関連項目