正単体

2次元正単体（正三角形）
3次元正単体（正四面体）
4次元正単体（正五胞体）の投影図

正単体（せいたんたい、regular simplex）は、2次元の正三角形、3次元の正四面体、4次元の正五胞体を各次元に一般化した正多胞体。なお、0次元正単体は点、1次元正単体は線分である。

また言い換えると、単体である正多胞体、つまり、辺の長さが全て等しい単体である。

α {\displaystyle \alpha } 体（アルファたい）ともいい、n (n ≥ 0) 次元正単体を α n {\displaystyle \alpha _{n}} と書く。

超立方体（正測体）、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

作図

n 次元正単体は、n + 1 次元空間内で作図するのが簡単である。 ( 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) {\displaystyle (1,0,0,\cdots ,0)} の巡回

( 1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 ) , ⋯ , ( 0 , 0 , ⋯ , 0 , 1 ) {\displaystyle (1,0,0,\cdots ,0),(0,1,0,\cdots ,0),\cdots ,(0,0,\cdots ,0,1)}

を頂点として、互いを辺で結べばよい。この図形は、原点を中心とするn + 1 次元正軸体の n 次元面の一つである。例えば (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)を頂点とする正三角形（2次元正単体）は (0, 0, 0)を中心とする正八面体（3次元正軸体）の面の一つであるが、この場合は (1, 1, 1)を4番目の頂点とする正四面体の構成面でもあり、2種類の正多面体で空間充填が可能である。

n 次元空間内で作図するには、

  • 座標変換する。
  • n - 1 次元単体を作図し、重心で直交する垂線上の適切な位置に頂点を追加する。
  • 自明な0次元単体から開始し、再帰的に1つ上の次元の正単体を作図する。

などがある。

性質

特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元正単体について述べる。

超体積は、

n + 1 n ! 2 n a n {\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}a^{n}}

超表面積は

( n + 1 ) n ( n − 1 ) ! 2 n − 1 a n − 1 {\displaystyle {\frac {(n+1){\sqrt {n}}}{(n-1)!{\sqrt {2^{n-1}}}}}a^{n-1}}

である。

ファセット (n - 1 次元面) は n - 1 次元正単体である。したがって一般に、m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元正単体である。たとえば、正五胞体（4次元正単体）の面（2次元面）は正三角形（2次元正単体）、胞（3次元面）は正四面体（3次元正単体）である。

m 次元面の個数は

n + 1 C m + 1 {\displaystyle {}_{n+1}\operatorname {C} _{m+1}}

である。これはパスカルの三角形の第 n + 2 段の m + 2 番目の数字である。特に、頂点とファセットはそれぞれ n + 1 {\displaystyle n+1} 個である。

m (0 ≤ m ≤ n - 2) 次元面に集まるl (m + 1 ≤ l ≤ n - 1) 次元面の個数は

n − m C l − m {\displaystyle {}_{n-m}\operatorname {C} _{l-m}}

である。これはパスカルの三角形の第 n - m + 1 段の l - m + 1 番目の数字であり、n - m - 1 次元単体の l - m - 1 次元面の個数である。

自らと双対である。

ペトリー多胞体は n - 1 次元正軸体である。たとえば、正四面体のペトリー多角形は正方形である。

関連項目

  • 単体 (数学)