Problema de matemática em aberto:
Um número p é primo se e somente se
, ou seja, se ?
A Conjectura de Agoh-Giuga é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos e os números de Bernoulli. Seu nome é homenagem a Takashi Agoh e Giuseppe Giuga. [1] [2]
Conjectura
A conjectura afirma que, p é um número primo se e somente se
-
Onde Bk é o k-ésimo número de Bernoulli.
Esta é a formulação atual da conjectura é de 1990, devido a Agoh. Uma formulação equivalente, feita por Giuga em 1950, afirma que p é um número primo se
equação que também pode ser escrita da seguinte forma utilizando notação de somatório:
É fácil mostrar que p ser primo é condição suficiente para o lado esquerdo da equivalência ser satisfeito, uma vez que podemos utilizar o pequeno teorema de Fermat, que enuncia que, se p é primo,
para , e a equivalência segue como consequência direta, já que
Status
A conjectura ainda não foi provada para um número n quando este não é primo (ou seja, quando n é composto). Apesar disso, já foi demonstrado que um número composton satisfaz a fórmula se e somente se este é um número de Carmichael e um número de Giuga, e se este de fato existir, tem pelo menos 13800 dígitos.[3] Laerte Sorini, em um trabalho de 2001, mostrou que um possível contra-exemplo deve ser um número n maior que 1036067. [4]
Relações com o Teorema de Wilson
A conjectura de Agoh–Giuga guarda certas semelhanças com o Teorema de Wilson, que já foi provado como sendo verdadeiro.
O Teorema de Wilson nos diz que p é um número primo se e somente se
onde pode ser reescrito usando a notação de produtório como:
Para p primo ímpar,
enquanto para p=2 (o único primo par), temos que:
Então, a veracidade da Conjectura de Agoh–Giuga combinada com o Teorema de Wilson nos fornece a seguinte afirmação:
Um número p é primo se e somente se
e
Programa em Python
Vários tipos de programas podem ser feitos para testar a conjectura de Agoh-Giuga, sendo um importante recurso para a matemática computacional. Abaixo, tem-se uma versão para Python, que testa a conjectura para os números entre 1 e 500: [2]
listnumbers = range(1,500)
for i in listnumbers:
sum = 0
value = 1
while value <= i-1:
sum+=value**(i-1)
value+=1
if ((sum%i)+1)%i == 0:
print("%d é primo pela conjectura de Agoh-Giuga!"%(i))
Ver também
Referências
- ↑ Giuga, Giuseppe. Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi.
- ↑ a b «Giuga's conjecture» (PDF). Consultado em 7 de janeiro de 2017. Arquivado do original (PDF) em 31 de maio de 2005
- ↑ (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996)
- ↑ Sorini, Laerte. Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga
- Portal da matemática
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