アーネシの曲線

アーネシの曲線（アーネシのきょくせん） (伊: la versiera di Agnesi, 英: witch of Agnesi) またはアーネシの魔女は直交座標における方程式

y={\frac {c^{3}}{x^{2}+c^{2}}}

すなわち $(x^{2}+c^{2})y-c^{3}=0$ によって表される曲線である。迂池線とも称する^[1]。

18世紀イタリアの数学者マリア・ガエターナ・アニェージ（アーネシ）が研究したことからこの名がある。「魔女」というのはイタリア語の versiera（縄）の誤訳であって、意味はない。

原点 O と y 軸上の点 M を結ぶ線分を直径とする円がある。原点 O から円上の点 A に直線 OA を引く。直線 OA は M から x 軸と平行に引いた直線と、点 N で交わる。点 N から線分 OM と平行な直線を引き、これが点 A から x 軸と平行に引いた直線と交わる点を P とする。 A の変化につれて P が描く軌跡が、アーネシの曲線である。

方程式

円の半径を a とすると（c=2a）、曲線の方程式はこうなる。

y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}

a = 1/2 のとき、この方程式は次のとおり単純になる。

y={\frac {1}{x^{2}+1}}

t による媒介変数表示によって、次式で表すこともできる：

x=2at,\quad y={\frac {2a}{t^{2}+1}}

$\theta \,$ を OM と OA とのなす角（時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。

x=2a\tan \theta ,\quad y=2a\cos ^{2}\theta

$\theta \,$ を x 軸と OA とのなす角（反時計回り）とすると、曲線は次式でも表せる。

x=2a\cot \theta ,\quad y=2a\sin ^{2}\theta

性質

y 軸に対して線対称であり、x 軸を漸近線とする。
変曲点は $\left(-{\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right),\left({\frac {2a}{\sqrt {3}}},{\frac {3a}{2}}\right)$ である。

曲線と x 軸との間の領域の面積は、元の円の面積の4倍（つまり $4\pi a^{2}$ ）になる。
上の領域の重心は、(0, a/2) である（元の円の重心は (0, a) である）。
曲線と x 軸を y 軸の周りに回転させてできる立体の体積は、 $4\pi ^{2}a^{3}$ である。

歴史

この曲線の性質については、ピエール・ド・フェルマー（1630年）、Guido Grandi（伊）（1703年）、マリア・ガエターナ・アニェージ（1748年）の研究が知られている^[2]。

イタリアではこの曲線は la versiera di Agnesi と呼ばれており、その英訳は the curve of Agnesi であるが、ケンブリッジ大学の教授 John Colson の誤訳によって、witch of Agnesi とも呼ばれる^[3]^[4]^[5]。

"The Witch of Agnesi" は Robert Spiller による創作小説。

脚注

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出典

^ 岩波数学公式I, p. 271.
^ http://www.mathcurve.com/courbes2d/agnesi/agnesi.shtml
^ Lynn M. Osen, Women in Mathematics, 1975, p. 45.
^ サイモン・シン, Fermat's Enigma, p. 100.（サイモン・シン著、青木薫訳『フェルマーの最終定理』新潮社〈新潮文庫〉、2006年。ISBN 4-10-215971-1）
^ David J. Darling, The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes, 2004, p. 8.