ウェルチのt検定

統計学において、ウェルチのt検定（ウェルチのtけんてい、英: Welch's t test）は、2標本の位置の検定であり、2つの母集団が等しい平均を持つという仮説を検定するために用いられる。ウェルチ＝アスピン検定（Welch-Aspin Test）とも呼ばれる。スチューデントのt検定の改良型であり、非等分散を持つ可能性のある2つの標本に用いることが意図されている^[1]。ウェルチのt検定は、ベーレンス＝フィッシャー問題の近似解である。

式

ウェルチのt検定は統計量tを以下の式によって定義する。

${\displaystyle t={{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2} \over {\sqrt {{s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}}}}\,}$

${\displaystyle {\overline {X}}_{i}}$、${\displaystyle s_{i}^{2}}$、${\displaystyle N_{i}}$はそれぞれ${\displaystyle i}$^thの標本平均、不偏分散、サンプルサイズである。スチューデントのt検定とは異なり、分母は推定された合併分散に基づかない。

この推定分散と関連した自由度${\displaystyle \nu }$は、ウェルチ-サタスウェイトの式を用いて近似される。

${\displaystyle \nu \approx {{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \nu _{1}}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \nu _{2}}}}={{\left({s_{1}^{2} \over N_{1}}+{s_{2}^{2} \over N_{2}}\right)^{2}} \over {{s_{1}^{4} \over N_{1}^{2}\cdot \left({N_{1}-1}\right)}+{s_{2}^{4} \over N_{2}^{2}\cdot \left({N_{2}-1}\right)}}}\,}$

ここで${\displaystyle \nu _{i}=N_{i}-1}$であり、自由度は${\displaystyle i}$^th推定分散と関連している。この自由度の式は、Welch (1938)^[2] の式(9)に見られる。

統計検定

tおよび${\displaystyle \nu }$が計算されると、これらの統計量は、「2つの母集団の平均は等しい」（両側検定）という帰無仮説あるいは「母集団の一方の平均がもう一方よりも大きいあるいは等しい」（片側検定）という帰無仮説を検定するためにt分布と共に用いることができる。具体的には、この検定によって得られるp値は、帰無仮説を棄却あるいは採択するための十分な証拠を与える。

出典

推薦文献

• Daniel Borcard, Lecture Note Appendix: t-test with Welch correction, excerpt from Legendre, P. and D. Borcard. Statistical comparison of univariate tests of homogeneity of variances.
• Sawilowsky, Shlomo S. (2002). “Fermat, Schubert, Einstein, and Behrens–Fisher: The Probable Difference Between Two Means When σ₁ ≠ σ₂”. Journal of Modern Applied Statistical Methods 1 (2): 461-472. http://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1022&context=coe_tbf. 

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
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