ログランク検定

ログランク検定（ログランクけんてい、英: logrank test, or log-rank test）は、2つの標本の生存分布を比較する仮説検定である。これはノンパラメトリック検定で、データが右に歪んで打ち切られている場合に使用するのに適している（技術的には、打ち切りは情報を与えないものでなければならない）。この検定は、臨床試験において、新しい治療法の有効性を対照群と比較して確立するため広く使用されており、測定する対象は事象発生までの時間（初回治療から心臓発作までの時間など）である。この検定は、ネイサン＝マンテル（英語版）とデイヴィッド＝コックス（英語版）にちなんでマンテル＝コックス検定と呼ばれることもある。ログランク検定は、時間層別化されたコクラン＝マンテル＝ヘンツェル検定と見なすこともできる。

この検定は、ネイサン＝マンテルによって最初に提案され、リチャード・ピートとジュリアン＝ピート（英語版）によってログランク検定と命名された^[1][2][3]。

定義

ログランク検定統計量は、観察された各事象の時間における2つのグループのハザード関数の推定値を比較する。これは、観察された事象の時間ごとに、いずれかのグループでの事象の観測数と期待数を計算し、これらを加算して、事象があったすべての時点にわたる全体的な要約を得ることによって構築される。

患者の2つのグループ、たとえば治療群と対照群を考える。 どちらかのグループで観察された事象の明確な時間を ${\displaystyle 1,\ldots ,J}$とする。${\displaystyle N_{1,j}}$ および ${\displaystyle N_{2,j}}$ を、それぞれのグループ内における、時間 ${\displaystyle j}$ の開始時点での「リスクがある」（まだ事象が発生していない、または打ち切られていない）被験者の数とする。また、${\displaystyle O_{1,j}}$ および ${\displaystyle O_{2,j}}$ を、時間 ${\displaystyle j}$ における各群で観測された事象の数とする。最後に、 ${\displaystyle N_{j}=N_{1,j}+N_{2,j}}$ と ${\displaystyle O_{j}=O_{1,j}+O_{2,j}}$ を定義する。

帰無仮説は、2つのグループのハザード関数が同一であるというもので、${\displaystyle H_{0}:h_{1}(t)=h_{2}(t)}$ となる。したがって、${\displaystyle H_{0}}$ の下では、各グループ ${\displaystyle i=1,2}$ に対して、${\displaystyle O_{i,j}}$ はパラメータ ${\displaystyle N_{j}}$, ${\displaystyle N_{i,j}}$, ${\displaystyle O_{j}}$ を持つ超幾何分布に従う。この分布は、期待値が ${\displaystyle E_{i,j}=N_{i,j}{\frac {O_{j}}{N_{j}}}}$、分散が ${\displaystyle V_{i,j}=E_{i,j}\left({\frac {N_{j}-O_{j}}{N_{j}}}\right)\left({\frac {N_{j}-N_{i,j}}{N_{j}-1}}\right)}$ である。

ログランク統計量は、すべての ${\displaystyle j=1,\ldots ,J}$ について、${\displaystyle O_{i,j}}$ と ${\displaystyle H_{0}}$ のもとでの期待値 ${\displaystyle E_{i,j}}$ と比較するものである。これは ${\displaystyle Z={\frac {\sum _{j=1}^{J}(O_{i,j}-E_{i,j})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{J}V_{i,j}}}}\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,1)}$      (${\displaystyle i=1}$ または ${\displaystyle 2}$ の場合) として定義されている。

中心極限定理により、${\displaystyle Z}$ の分布は、${\displaystyle J}$ が無限に近づくにつれて標準正規分布の分布に収束するため、十分に大きな ${\displaystyle J}$ に対しては標準正規分布で近似することができる。Peto and Petoの論文の付録Bで記述されているように、この量を、ピアソンの第1種ベータ分布または第2種ベータ分布（最初の4つのモーメントを一致させる）と等しくすることにより、より良い近似が得られる^[2]。

漸近分布

2つのグループが同じ生存関数を持つ場合、ログランク統計量は近似的に標準正規分布となる。片側レベル ${\displaystyle \alpha }$ 検定は、${\displaystyle Z>z_{\alpha }}$ ならば帰無仮説を棄却する。ここで ${\displaystyle z_{\alpha }}$ は、標準正規分布の上位 ${\displaystyle \alpha }$ 分位点である。ハザード比を ${\displaystyle \lambda }$、被験者総数を ${\displaystyle n}$ 人、どちらかの群の被験者が最終的に事象を起こす確率を ${\displaystyle d}$ （したがって、${\displaystyle nd}$ は分析時の事象の期待数）、各群に無作為に割り振られた被験者の割合を50%とすると、ログランク統計量は平均 ${\displaystyle (\log {\lambda })\,{\sqrt {\frac {n\,d}{4}}}}$、分散 1 の近似正規分布となる^[4]。検出力 ${\displaystyle 1-\beta }$ の片側レベル ${\displaystyle \alpha }$ 検定の場合、必要な標本サイズは ${\displaystyle n={\frac {4\,(z_{\alpha }+z_{\beta })^{2}}{d\log ^{2}{\lambda }}}}$ となり、ここに ${\displaystyle z_{\alpha }}$ と ${\displaystyle z_{\beta }}$ は標準正規分布の分位数である。

同時分布

${\displaystyle Z_{1}}$ および ${\displaystyle Z_{2}}$ を、同じ検定の2つの異なる時点でのログランク統計量であるとする（${\displaystyle Z_{1}}$ が先）。ここでも、2つのグループのハザード関数がハザード比 ${\displaystyle \lambda }$ に比例し、${\displaystyle d_{1}}$ と ${\displaystyle d_{2}}$ は ${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}}$ の2つの時点で被験者が事象を起こす確率であると仮定する。${\displaystyle Z_{1}}$ および ${\displaystyle Z_{2}}$ は、平均 ${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{1}}{4}}}}$ と ${\displaystyle \log {\lambda }\,{\sqrt {\frac {n\,d_{2}}{4}}}}$ 、相関 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}}$ を持つ近似二変量正規分布である。データモニタリング委員会（英語版）による1つの検査でデータが複数回が調査された場合、エラー率を正しく維持するためには、同時分布を含む計算が必要となる。

他の統計との関係

• ログランク統計量は、2つのグループを比較するCox比例ハザードモデルのスコア検定（英語版）として導出できる。したがって、その統計量は、そのモデルに基づく尤度比検定統計量と漸近的に等価である。
• ログランク統計量は、比例ハザード代替性^{[訳語疑問点]}を持つ任意の分布族の尤度比検定統計量と漸近的に等価である。たとえば、2つの標本からのデータが指数分布を持つ場合がある。
• ${\displaystyle Z}$ をログランク統計量、${\displaystyle D}$ を観察された事象の数、${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$ をハザード比の推定値とすると、${\displaystyle \log {\hat {\lambda }}\approx Z\,{\sqrt {4/D}}}$ である。この関係は、2つの量が分かっている場合（たとえば、発表された論文から）、3つ目の量が必要な場合に有用である。
• ログランク統計量は、観測が打ち切られている場合に使用できる。データに打ち切られた観測が存在しない場合、ウィルコクソンの順位和検定が適切である。
• ログランク統計量は、事象が発生した時間にかかわらず、すべての計算に同じ重みを与える。ピートログランク検定統計量は、観測値の数が多い場合、初期の事象により多くの重みを与える。

検定の仮定

ログランク検定は、カプラン＝マイヤー生存曲線と同じ仮定に基づいている。すなわち、打ち切りは予後とは無関係であり、生存確率は研究の初期と後期に募集された被験者で同じであり、事象は指定された時間に起こったという仮定である。これらの仮定からの逸脱が問題となるのは、比較されるグループ間で充足の度合いが異なる場合である。たとえば、あるグループでは打ち切りが他のグループよりも起こりやすいなどである^[5]。

参照項目

ポータル 数学

• 生存分析
• カプラン＝マイヤー推定量
• ハザード比

脚注

表 話 編 歴 統計学
標本調査	標本 母集団 無作為抽出 層化抽出法
要約統計量	連続確率分布 位置 平均 算術 幾何 調和 中央値 分位数 順序統計量 最頻値 階級値 分散 範囲 偏差 偏差値 標準偏差 標準誤差 変動係数 決定係数 相関係数 自己相関 共分散 自己共分散 分散共分散行列 百分率 統計的ばらつき モーメント 分散 歪度 尖度 カテゴリデータ 頻度 分割表
推計統計学	仮説検定 パラメトリック t検定 ウェルチのt検定 F検定 Z検定 二項検定 ジャック-ベラ検定 シャピロ–ウィルク検定 分散分析 共分散分析 ノンパラメトリック ウィルコクソンの符号順位検定 マン・ホイットニーのU検定 カイ二乗検定 イェイツのカイ二乗検定 累積カイ二乗検定 フィッシャーの正確確率検定 尤度比検定 G検定 アンダーソン–ダーリング検定 コルモゴロフ–スミルノフ検定 カイパー検定 マンテル検定 コクラン・マンテル・ヘンツェルの統計量 その他 帰無仮説 対立仮説 有意 棄却 区間推定 信頼区間 予測区間 モデル選択基準 AIC BIC WAIC MDL その他 偏り 偏りと分散 過剰適合 推定量 点推定 最尤推定 尤度関数 尤度方程式 最小距離推定 メタアナリシス ブートストラップ法
ベイズ統計学	確率 主観確率 ベイズ確率 事前確率 事後確率 最大事後確率 その他 ベイズ推定 ベイズ因子
相関	交絡 ピアソンの積率相関係数 順位相関（スピアマンの順位相関係数 ・ケンドールの順位相関係数 ）
モデル	一般線形モデル 一般化線形モデル 混合モデル 一般化線形混合モデル
回帰	線形 リッジ回帰 ラッソ回帰 エラスティックネット 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン 射影追跡回帰 時系列 自己回帰モデル 自己回帰移動平均モデル ARCHモデル 対移動平均比率法 トレンド定常 傾向推定 共和分 構造変化
分類	線形 線形判別分析 ロジスティック回帰 <! -- 名前に回帰とついていますが確率を回帰する分類手法です --> 単純ベイズ分類器 単純パーセプトロン 線形サポートベクターマシン 二次 二次判別分析 非線形 k近傍法 決定木 ランダムフォレスト ニューラルネットワーク サポートベクターマシン ベイジアンネットワーク 隠れマルコフモデル その他 二項分類 多クラス分類 第一種過誤と第二種過誤
教師なし学習	クラスタリング k平均法 （k-means++法 ） DBSCAN 密度推定（英語版） カーネル密度推定 （ カーネル ） その他 主成分分析 独立成分分析 自己組織化写像
統計図表	棒グラフ バイプロット（英語版） 箱ひげ図 管理図 フォレストプロット ヒストグラム 円グラフ Q-Qプロット ランチャート 散布図 幹葉表示 バイオリン図 ドットプロット ヒートマップ 階級区分図
生存分析	生存関数 カプラン＝マイヤー推定量 ログランク検定 故障率 比例ハザードモデル
歴史	統計学の創始者 確率論と統計学の歩み
応用	社会統計学 疫学 生物統計学 系統学 統計力学 計量経済学 機械学習 実験計画法
出版物	統計学に関する学術誌一覧 重要な出版物
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