ウォルステンホルム素数

数論におけるウォルステンホルム素数（ウォルステンホルムそすう、英: Wolstenholme prime）とは、強い形のウォルステンホルムの定理（英語版）を満たすような特別な形をした素数のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 p において p−1 までの逆数の和を表す分数の分子は p2 を因数にもつことは知られている。この分数の分子が p3 の因数をもつ素数の事である。名称は19世紀にこの定理を初めて記述した数学者ジョセフ・ウォルステンホルム（英語版）にちなむ。

ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つフェルマーの最終定理との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。

既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（オンライン整数列大辞典の数列 A088164）。109 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない[1]。

定義

ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。

二項係数による定義

素数 p > 7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という[2]。

( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 4 ) {\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}}

ここで左辺は二項係数。

一方ウォルステンホルムの定理によれば、p > 3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。

( 2 p − 1 p − 1 ) ≡ 1 ( mod p 3 ) {\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}

ベルヌーイ数による定義

素数 p は、ベルヌーイ数 Bp−3 の分子を割り切るときウォルステンホルム素数という[3][4][5]。よってウォルステンホルム素数は非正則素数の部分集合である。

非正則素数による定義

詳細は「正則素数」を参照

素数 p は、(p, p–3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数という[6][7]。

調和数による定義

素数 p は、調和数 H p − 1 {\displaystyle H_{p-1}} を既約分数で表したときの分子が p3 で割り切れるときウォルステンホルム素数という[8]。

研究とその現状

ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった[9]。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表された[10]。1.2×107 までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数は見つからず[11]、後にこの範囲は 2×108 まで拡げられ（McIntosh, 1995年）[4]、さらに 2.5×108 まで拡げられた（Trevisan & Weber, 2001年）[12]。 2007年時点での最新の結果では 109 までの範囲でのウォルステンホルム素数はただ2つである[13]。

ウォルステンホルム素数の個数の予想

ウォルステンホルム素数は無限個存在すると予想されている。また素数定理から x 以下のウォルステンホルム素数の個数は約 ln ln x 個（ ln は自然対数）だと予想されている。素数 p ≥ 5 に対しウォルステンホルム商 は

W p = ( 2 p − 1 p − 1 ) − 1 p 3 {\displaystyle W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \choose p-1}-1}{p^{3}}}}

と定義される。明らかに、p がウォルステンホルム素数であることと Wp ≡ 0 (mod p) であることは同値である[4]。数値計算からは、Wp を pで割った余りは {0, 1, ..., p–1} 上ランダムに分布することが示唆されている[4]。

関連項目

  • ヴィーフェリッヒ素数（英語版）
  • ウォール–スン–スン素数（英語版）
  • ウィルソン素数
  • 合同関係の一覧（英語版）

脚注

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Wolstenholme prime". mathworld.wolfram.com (英語).
  2. ^ Cook, J. D.. “Binomial coefficients”. 2010年12月21日閲覧。
  3. ^ Clarke & Jones 2004, p. 553.
  4. ^ a b c d McIntosh 1995, p. 387.
  5. ^ Zhao 2008, p. 25.
  6. ^ Johnson 1975, p. 114.
  7. ^ Buhler et al. 1993, p. 152.
  8. ^ Zhao 2007, p. 18.
  9. ^ Selfridge and Pollack published the first Wolstenholme prime in Selfridge & Pollack 1964, p. 97 (see McIntosh & Roettger 2007, p. 2092).
  10. ^ Ribenboim 2004, p. 23.
  11. ^ Zhao 2007, p. 25.
  12. ^ Trevisan & Weber 2001, p. 283–284.
  13. ^ McIntosh & Roettger 2007, p. 2092.

参考文献

  • Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), “Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000”, Notices of the American Mathematical Society 11: 97 
  • Johnson, W. (1975), “Irregular Primes and Cyclotomic Invariants”, Mathematics of Computation 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468, http://www.ams.org/journals/mcom/1975-29-129/S0025-5718-1975-0376606-9/S0025-5718-1975-0376606-9.pdf  Archived 2010-12-20 at WebCite
  • Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), “Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million”, Mathematics of Computation 61 (203): 151–153, doi:10.2307/2152942, http://www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1197511-5/S0025-5718-1993-1197511-5.pdf  Archived 2010-11-12 at WebCite
  • McIntosh, R. J. (1995), “On the converse of Wolstenholme's Theorem”, Acta Arithmetica 71: 381–389, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf  Archived 2010-11-08 at WebCite
  • Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), “Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem”, Matemática Contemporânea 21: 275–286, http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/448/000317407.pdf?sequence=1  Archived 2010-12-10 at WebCite
  • Ribenboim, P. (2004), “Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime”, The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-20169-6  Archived 2010-11-24 at WebCite
  • Clarke, F.; Jones, C. (2004), “A Congruence for Factorials”, Bulletin of the London Mathematical Society 36 (4): 553–558, doi:10.1112/S0024609304003194, http://blms.oxfordjournals.org/content/36/4/553.full.pdf  Archived 2011-01-02 at WebCite
  • McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), “A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes”, Mathematics of Computation 76: 2087–2094, Bibcode: 2007MaCom..76.2087M, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2, http://www.ams.org/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf  Archived 2010-12-10 at WebCite
  • Zhao, J. (2007), “Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p5 variations of Lucas' theorem”, Journal of Number Theory 123: 18–26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005, http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoJNTBern.pdf Archived 2010-11-12 at WebCite
  • Zhao, J. (2008), “Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums”, International Journal of Number Theory 4 (1): 73–106, doi:10.1142/s1793042108001146, http://home.eckerd.edu/~zhaoj/research/ZhaoIJNT.pdf  Archived 2010-11-27 at WebCite

さらに詳しく

  • Babbage, C. (1819), “Demonstration of a theorem relating to prime numbers”, The Edinburgh Philosophical Journal 1: 46–49, https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 
  • Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), “On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II”, Communications in Number Theory and Physics 3, arXiv:0907.2578, Bibcode: 2009arXiv0907.2578K 
  • Wolstenholme, J. (1862), “On Certain Properties of Prime Numbers”, The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 5: 35–39, https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35#v=onepage&q&f=false 

外部リンク

  • Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime （"The Prime Glossary"より）
  • McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 （e-mailはPaul Zimmermannまで）
  • Bruck, R. Wolstenholme's Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients
  • Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums （2つのウォルステンホルム素数を含む興味深い結果）
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