キャップ積

代数トポロジーにおいて、キャップ積（英: cap product）は次数 p のチェイン（英語版）と次数 q ≤ p のコチェインから次数 p − q の新しいチェインを作る手法である。キャップ積は1936年にEduard Čech（英語版）により、1938年にHassler Whitney（英語版）により独立に導入された。

定義

X を位相空間とし R を係数環とする。キャップ積は特異ホモロジー及びコホモロジー上の双線型写像

⌢ : H p ( X ; R ) × H q ( X ; R ) → H p − q ( X ; R ) {\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}

であって以下のように定義される。特異チェイン σ : Δ   p →   X {\displaystyle \sigma :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X} と特異コチェイン ψ ∈ C q ( X ; R ) {\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)} に対し

σ ⌢ ψ = ψ ( σ | [ v 0 , … , v q ] ) σ | [ v q , … , v p ] {\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}}

とする。ここで、表記 σ | [ v 0 , … , v q ] {\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}} は単体写像 σ {\displaystyle \sigma } の底のベクトルによって張られる面への制限を表す。単体（英語版）を参照。

Equations

キャップ積のバウンダリは次で与えられる：

∂ ( σ ⌢ ψ ) = ( − 1 ) q ( ∂ σ ⌢ ψ − σ ⌢ δ ψ ) . {\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}

写像 f が与えられると誘導された写像は次を満たす：

f ∗ ( σ ) ⌢ ψ = f ∗ ( σ ⌢ f ∗ ( ψ ) ) . {\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}

キャップ積とカップ積は次で関係づけられる：

ψ ( σ ⌢ φ ) = ( φ ⌣ ψ ) ( σ ) {\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}

ただし

σ : Δ p + q → X {\displaystyle \sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X} , ψ ∈ C q ( X ; R ) {\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)} and φ ∈ C p ( X ; R ) . {\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}

最後の式の面白い結果として、 H ∗ ( X ; R ) {\displaystyle H_{\ast }(X;R)} は右 H ∗ ( X ; R ) {\displaystyle H^{\ast }(X;R)} 加群になる。

関連項目

参考文献

  • Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
  • slant product in nLab