クルト・ゲーデル

クルト・ゲーデル Kurt Gödel
1925年撮影
生誕	(1906-04-28) 1906年4月28日 オーストリア＝ハンガリー帝国、ブリュン
死没	1978年1月14日(1978-01-14)（71歳） アメリカ合衆国、ニュージャージー州 プリンストン
研究分野	数学, 数理論理学
研究機関	プリンストン高等研究所
出身校	ウィーン大学
博士課程 指導教員	ハンス・ハーン
主な業績	ゲーデルの完全性定理, ゲーデルの不完全性定理, 連続体仮説, ゲーデルの神の存在論的証明（英語版）
主な受賞歴	アルベルト・アインシュタイン賞 (1951年); アメリカ国家科学賞 数学部門(1974年)
署名
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クルト・ゲーデル（Kurt Gödel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日）は、オーストリア・ハンガリー帝国出身の数学者・論理学者・哲学者である。業績には、完全性定理、不完全性定理^[1]および連続体仮説に関する研究が知られる。

略歴

オーストリア=ハンガリー帝国時代

オーストリア=ハンガリー帝国のモラヴィアに生まれる。1924年、ゲーデルは、ウィーン大学に入学し、まず物理学を、後に数学を学んだ。そして、1930年には、最初の重要な業績である「完全性定理」（第一階述語論理の完全性定理）を発表し、学位を得た。

翌1931年、ゲーデル数の概念を用い、20世紀の数学基礎論、論理学にとって最も重要な発見とされる「不完全性定理」を発表した。

1940年、ヒルベルトの第一問題（連続体仮説）について、「集合論のZF公理系が無矛盾ならば、そこに選択公理と一般連続体仮説を加えても無矛盾である」ということを証明した^[2]。以上がゲーデルの三大業績と呼ばれている。この後、ゲーデルは、連続体仮説に関する研究から身を引いた。1963年、ポール・コーエンは、「ZF公理系に選択公理と一般連続体仮説の否定を加えても無矛盾である」ということを証明し、ゲーデルの結果と合わせて、「選択公理と一般連続体仮説はZFとは独立である（したがって、証明も否定の証明もできない）」ということを示した。このとき、ゲーデルは「これは自分がなすべき仕事だった」と悔やんだと言われ、コーエンの仕事を絶賛した。その一方で、ゲーデルは「すべての数学的命題に対して、人間は真偽を判定することが可能である」と信じていたと言われる。特に、連続体仮説に関しては、その否定を信じていた。

アメリカ合衆国時代

ゲーデルは、ウィーン大学の講師を勤めたが、オーストリアを併合したナチス・ドイツから逃れるために、1940年頃には妻アデーレと共にアメリカ合衆国に移住した^{[注釈 1]}。ゲーデルは、米国の市民権を取得し^{[注釈 2]}、プリンストン高等研究所の教授となった。この研究所では、アインシュタインと家族ぐるみで親密に交流し、物理学や哲学などについて議論を交わした。その結果アインシュタインの一般相対性理論におけるゲーデル解（1949年）を生んだ。この解は、非常に奇妙な性質を示したために、アインシュタインをして自身の理論に疑問を抱かせるに至った。

1948年、ゲーデルは、アメリカ市民権を取得する。このとき、保証人に名を連ねたのがアインシュタインである。当時、アメリカ市民権を取得するには、米国憲法に関する面接試験が課せられていた。そのため、ゲーデルは、合衆国憲法を一から勉強しはじめた。面接当日、ゲーデルは「合衆国憲法が独裁国家に合法的に移行する可能性を秘めていることを発見した」とアインシュタインたちに語り、彼らを当惑させた。そして、移民審査をする判事から「あなたは、独裁国家（ナチス・ドイツに併合されたオーストリア）から来られたのですね。我がアメリカ合衆国ではそのようなことは起きませんから、安心してください」と言われた際、ゲーデルは、即座に「それどころか私は、いかにしてそのようなことが起こりうるのかを証明できるのです」と答えた。そのため、その場に付き添っていたアインシュタインたちが慌てて場を取り繕うという一幕があった^[3]。

1970年代初頭には、ポール・エルデシュからの「お前は皆の研究対象になるために数学者になったのであって、お前のライプニッツ研究のためじゃないんだ！^[4]」との懇願にもかかわらず、ライプニッツによる「神の存在証明」を洗練させたゲーデルの神の存在証明（英語版）として知られる論文を知人に配布した。しかし、その目的が、神学論争への加担ではなく、あくまで論理学的な興味の追求にあったため、ゲーデルは、誤解を恐れて生前は公表しなかった。その中で、ゲーデルは、ライプニッツの主張について、公理系を解明しつつ様相論理の手法を用いて明確な定式化を試みた。この論文は、ゲーデルが没してから9年後の1987年にデイナ・スコットの手によって初めて出版された。

晩年は、非常に内向的となった。また、精神にも失調をきたしており、毒殺されることを恐れるあまり、妻アデーレが作った食事以外は、自分が調理した食事すら口にしなかった。その他にも、毒ガスによる暗殺を恐れたために、冬でも家の窓を開け放っていた。また、人前に出ることはほとんどなく、自宅に籠って哲学と論理学の研究を続けていた。最終的には、アデーレが病院に入院して自宅を離れていた期間に、絶食による飢餓状態となった。すぐに病院に搬送されたが、プリンストン病院で死去した。このとき、ゲーデルの体重は、65ポンド（約29.5kg）しかなかった。

彼の遺稿は、大学時代までに修得した英語、ドイツ語、およびガベルスベルガー式速記（ドイツ語版）と呼ばれるドイツの古い速記法で書かれている。その速記法はドイツ統一速記法（ドイツ語版）に取って代わられたために淘汰され、解読が困難であることで知られている。幸い、彼が潔癖で几帳面であったため、遺稿のほぼすべてが残されている^[5]。

業績

著作集

• Gödel, Kurt (1986-1-23). Collected Works: Publications 1929-1936. I. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-503964-5. http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195039641.do 
  • Gödel, Kurt (2001-5-31). Collected Works: Publications 1929-1936. I. Solomon Feferman et al.ed. (Paperback ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-514720-0. http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195147209.do 
• Gödel, Kurt (1989-11-30). Collected Works: Publications 1938-1974. II. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-503972-6. http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195039726.do 
  • Gödel, Kurt (2001-6-21). Collected Works: Publications 1938-1974. II. Solomon Feferman et al.ed. (Paperback ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-514721-9. http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195147216.do 
• Gödel, Kurt (1995-3-30). Collected Works: Unpublished Essays & Lectures. III. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-507255-3. http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195072556.do 
  • Gödel, Kurt (2001-5-31). Collected Works: Unpublished Essays & Lectures. III. Solomon Feferman et al.ed. (Paperback ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-514722-7. http://ukcatalogue.oup.com/product/9780195147223.do 
• Gödel, Kurt (2003-6-5). Collected Works: Correspondence, A-G. IV. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-850073-4. http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198500735.do 
• Gödel, Kurt (2003-5-27). Collected Works: Correspondence, H-Z. V. Solomon Feferman et al.ed. (Hardcover ed.). Oxford University Press. ISBN 0-19-850075-0. http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198500759.do 

著書

• 1931, "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173–98.
• The Consistency of the Continuum Hypothesis. Annals of Mathematics Sutdies. 3. (1940-9-1). Princeton University Press. ISBN 0-691-07927-7
• 『数学基礎論　撰出公理及び一般連続仮説の集合論公理との無矛盾性』近藤洋逸訳、伊藤書店、1946年4月。

備考

• ゲーデル・不完全性定理―"理性の限界"の発見 (ブルーバックス B-947)では、マリアンヌは17歳でクルトを生んだとあるが、これはGeorg Kreiselの1982年の文献自体のエラーの引き写しによる誤情報である^[6]。

脚注

注釈

出典

参考文献

• 高橋昌一郎『ゲーデルの哲学』（講談社現代新書、1999年）
• 吉永良正『ゲーデル・不完全性定理―"理性の限界"の発見』 (ブルーバックス B-947)
• John Stillwell, Mathematics and its history, third edition, Springer Verlag. ISBN 978-1-441-96052-8

関連文献

• 廣瀬健・横田一正『ゲーデルの世界――完全性定理と不完全性定理――』 海鳴社、1985年。ISBN 4875251068

  論文「論理学における述語計算の公理の完全性」、「『プリンキピア・マテマティカ』やその関連体系での形式的に決定不可能な命題についてI」の翻訳あり

• 『ゲーデル 不完全性定理』 林晋・八杉満利子 訳・解説、岩波書店〈岩波文庫〉、2006年。ISBN 4003394410

  論文「プリンキピア・マテマティカおよび関連した体系の形式的に決定不能な命題についてI」の翻訳と解説

• E.ナーゲル、J・R.ニューマン 『ゲーデルは何を証明したか――数学から超数学へ』 林一訳、白揚社、1999年。ISBN 4826900872
• ダグラス・ホフスタッター 『ゲーデル、エッシャー、バッハ――あるいは不思議の環 20周年記念版』 野崎昭弘・柳瀬尚紀・はやしはじめ 訳、白揚社、2005年。ISBN 4826901259
• ジョン・W・ドーソン Jr. 『ロジカル・ディレンマ　ゲーデルの生涯と不完全性定理』 村上祐子・塩谷賢訳、新曜社、2006年。ISBN 4788510286

  ゲーデルの遺稿を基にした詳細な伝記。

• レイモンド・スマリヤン 『ゲーデルの不完全性定理』 高橋昌一郎訳、丸善出版、1996年。ISBN 978-4621042045。改訳版2019年
• ピエール・カスー=ノゲス『ゲーデルの悪霊たち　論理学と狂気』 新谷昌宏訳、みすず書房、2020年 ISBN 978-4622089162
• ハオ・ワン 『ゲーデル再考 人と哲学』土屋俊・戸田山和久 訳、産業図書、1995年。ISBN 9784782800966

関連項目

• ゲーデル数
• ゲーデル賞
• 竹内外史

外部リンク

• O'Connor, John J; Edmund F. Robertson "Kurt Gödel". MacTutor History of Mathematics archive.
• The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalised Continuum-Hypothesis with Set Theory（Google ブックス）
• クルト・ゲーデル - Find a Grave（英語）
• Kurt Gödel （英語） - スタンフォード哲学百科事典「クルト・ゲーデル」の項目。

表 話 編 歴 集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
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研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
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表 話 編 歴 論理学
関連項目 学術的領域 議論学 価値論 批判的思考 再帰理論 形式意味論 論理史 非形式論理学 計算機科学における論理学（英語版） 数理論理学 数学 メタ論理学 メタ数学 モデル理論 哲学的論理学 哲学 論理学の哲学 数学の哲学 証明論 集合論 論理学の歴史 基本概念 アブダクション 分析的と総合的の区別（英語版） 二律背反 アプリオリ 演繹 定義(内包と外延) 記述 帰納 推論 論理的帰結 論理形式（英語版） 論理的含意（英語版） 論理的真理 名前 必要十分条件 意味 パラドックス 可能世界論 前提 確率 理性 推理 参考 意味論 命題 サブスティトゥーション（英語版） 統語論（英語版） 真理 真理値 妥当性 数学記号の表
哲学的論理学 批判的思考と非形式論理学 分析 曖昧 信念 信用性（英語版） 根拠 説明 説明力（英語版） 事実 誤謬 探究 意見 節約 根拠 プロパガンダ 思慮分別（英語版） 推理 関連 修辞学 厳格 漠然（英語版） 論理学の哲学 構成主義 真矛盾主義 虚構主義（英語版） 有限主義（英語版） 形式主義 直観主義 論理的原子論（英語版） 論理主義 唯名論 プラトニック実在論（英語版） プラグマティズム 実在論
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