存在記号

ラテン文字の「Ǝ」とは異なります。

存在記号（そんざいきごう、existential quantifier）とは、数理論理学（特に述語論理）において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「∃」と表記され、存在量化子（そんざいりょうかし）、存在限量子（そんざいげんりょうし）、存在限定子（そんざいげんていし）などとも呼ばれる。この記号（∃）は1897年にジュゼッペ・ペアノによって導入された^[1][2]。

これとは対照的に全称記号は、全てのメンバーについての量化である。

概要

例として、「ある自然数の平方が25である」を表す式を考える。最も素朴な方法として、次のように式を書いていく:

0·0 = 25, または 1·1 = 25, または 2·2 = 25, または 3·3 = 25, などなど

これは 「または」を繰り返しているので、一種の論理和となっている。しかし、「などなど」があるため形式論理の論理和であるとは言えない。その代わりに以下のような文を書く:

ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

これは存在量化（existential quantification）を用いた、形式論理として妥当な単一の文である。

この文は前者の書き方よりも正確である点に注意されたい。前者は「などなど」が全ての自然数を指し、それ以外を含まないことを汲み取れはするが、明確には述べられていない。そのため、形式的表現に変換できない。一方、後者の量化された文では、自然数について明確に言及しているため、解釈の誤りは通常の場合生じない。

5 は自然数のもとで、5 を ${\displaystyle n}$ に代入すると "5·5 = 25" となり、式は真となる。"${\displaystyle n\cdot n=25}$" が5以外の自然数 ${\displaystyle n}$ で偽となることは関係がない。少なくとも1つの解が存在すれば、存在量化で真となるに十分である。

一方、「ある偶数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は、偶数の解が存在しないため偽となる。また、「ある奇数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は、5 が奇数であるため真となる。この事実は変数 ${\displaystyle n}$ が取りうる値の範囲を示す「議論領域（domain of discourse）」が重要であることを示している。 何らかの述語を満たす値だけを議論領域としたい場合、存在量化では論理積を使用すればよい。 例として、「ある奇数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文は「ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n}$ は奇数であり、かつ ${\displaystyle n\cdot n=25}$ である」という文と論理的に同値である。この場合、「かつ」は論理積を表している。

数理論理学で存在量化を表す存在記号は "${\displaystyle \exists }$"（サンセリフ体の "E" を裏返した字）で表される。なお、これは英語で存在を意味するexistに由来する^{[要検証 – ノート]}。 故に、${\displaystyle P(a,b,c)}$ が "${\displaystyle a\cdot b=c}$" を表す述語で、${\displaystyle \mathbf {N} }$ が自然数の集合であるとすると、

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbf {N} \,P(n,n,25)}$

という論理式が以下の文を表すことになる^[4]。

ある自然数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

同様に、${\displaystyle Q(n)}$ が 「${\displaystyle n}$ は偶数である」を表す述語とすると

${\displaystyle \exists {n}\in \mathbf {N} \,{\big (}Q(n)\;\!\;\!{\wedge }\;\!\;\!P(n,n,25){\big )}}$

という論理式が以下の文を表すことになる。

ある偶数 ${\displaystyle n}$ について、${\displaystyle n\cdot n=25}$ である。

存在記号の各種記号法は全称記号の項目に参照されたし。

符号位置

注

関連項目

• 一階述語論理
• 存在汎化
• 存在例化
• 量化
• 全称記号

参考文献

• Hinman, P. (2005年). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0 

表 話 編 歴 論理学
関連項目 学術的領域 議論学 価値論 批判的思考 再帰理論 形式意味論 論理史 非形式論理学 計算機科学における論理学（英語版） 数理論理学 数学 メタ論理学 メタ数学 モデル理論 哲学的論理学 哲学 論理学の哲学 数学の哲学 証明論 集合論 論理学の歴史 基本概念 アブダクション 分析的と総合的の区別（英語版） 二律背反 アプリオリ 演繹 定義(内包と外延) 記述 帰納 推論 論理的帰結 論理形式（英語版） 論理的含意（英語版） 論理的真理 名前 必要十分条件 意味 パラドックス 可能世界論 前提 確率 理性 推理 参考 意味論 命題 サブスティトゥーション（英語版） 統語論（英語版） 真理 真理値 妥当性 数学記号の表
哲学的論理学 批判的思考と非形式論理学 分析 曖昧 信念 信用性（英語版） 根拠 説明 説明力（英語版） 事実 誤謬 探究 意見 節約 根拠 プロパガンダ 思慮分別（英語版） 推理 関連 修辞学 厳格 漠然（英語版） 論理学の哲学 構成主義 真矛盾主義 虚構主義（英語版） 有限主義（英語版） 形式主義 直観主義 論理的原子論（英語版） 論理主義 唯名論 プラトニック実在論（英語版） プラグマティズム 実在論
メタ論理学と超数学 カントールの定理 決定問題 チャーチのテーゼ 無矛盾性 実効的方法（英語版） 数学基礎論 ゲーデルの完全性定理 ゲーデルの不完全性定理 健全性 完全性 決定可能性 解釈 レーヴェンハイム-スコーレムの定理 メタ定理（英語版） 充足可能性 独立性（英語版） 独立 タイプとトークンの区別 使用と言及の区別
数理論理学 基幹 形式言語 構成規則 形式体系 演繹システム（英語版） 形式的証明 形式意味論 論理式 集合 元 クラス 古典論理 公理 自然演繹 推論規則 有限関係（英語版） 定理 論理的帰結 公理系 型理論 記号 統語論（英語版） 理論（英語版） 名辞論理学（英語版） 命題 推論 論証 妥当性 三段論法 反対の正方形 ベン図 命題論理とブール論理 ブール関数 命題論理 論理演算 真理値表 原子論理式 リテラル 述語論理 量化 全称記号 存在記号 一階述語論理 二階述語論理 高階述語論理 単項述語計算（英語版） 標準形 連言標準形 選言標準形 否定標準形 冠頭標準形 スコーレム標準形 節標準形 集合論 集合 空集合 数え上げ 外延 有限集合 関数 部分集合 冪集合 可算集合 帰納的集合 定義域 値域 順序対 非可算集合 モデル理論 モデル（英語版） 解釈（英語版） 超準モデル 有限モデル理論 真理値 妥当性 証明論 形式的証明 演繹システム（英語版） 形式体系 定理 論理的帰結 推論規則 統語論（英語版） 再帰理論 再帰 帰納的集合 帰納的可算集合 決定問題 チャーチ＝チューリングのテーゼ 計算可能関数 原始再帰関数 表現 真理値表 クワイン・マクラスキー法 カルノー図 存在グラフ 概念地図 オイラー図 ベン図 スパイダー図 タブローの方法 Xバー理論 構文木 構文解析
非古典論理 様相論理学 真理様相（英語版） 価値様相（英語版） 義務論理 信念様相（英語版） 認識論理 時相論理 線形時相論理 直観主義 直観論理 構成的解析（英語版） ハイディング算術（英語版） 直観主義型理論 構成的集合論（英語版） ファジィ論理 真理の程度（英語版） ファジィルール（英語版） ファジィ集合 ファジィ有限要素（英語版） ファジィ集合演算（英語版） 部分構造論理 構造規則（英語版） 適切さの論理 線形論理 矛盾許容論理 真矛盾主義 様相記述論理（英語版） 存在論 オントロジー言語（英語版）
論理学者 アンダーソン アリストテレス イブン・ルシュド イブン・スィーナー ベイン（英語版） バーワイズ（英語版） ベルナイス ブール ブーロス（英語版） カントール カルナップ チャーチ クリュシッポス カリー ド・モルガン フレーゲ ギーチ ゲンツェン ゲーデル ヒルベルト クリーネ クリプキ ライプニッツ レーヴェンハイム（英語版） ペアノ パース パトナム クワイン ラッセル シュレーダー（英語版） スコトゥス スコーレム スマリヤン タルスキ チューリング ホワイトヘッド オッカムのウィリアム ウィトゲンシュタイン ツェルメロ
カテゴリ