双曲線軌道

宇宙力学
軌道力学
軌道要素 近点・遠点 近点引数 方位角 軌道離心率 軌道傾斜角 平均近点角 交点 軌道長半径 軌道短半径 真近点角
二体の場合 円軌道・楕円軌道 遷移軌道 (ホーマン遷移・二重楕円遷移) 放物線軌道 双曲線軌道 軌道の減衰
法則 力学的摩擦 脱出速度・宇宙速度 ケプラー方程式 ケプラーの法則 公転周期 軌道速度 表面重力
天体力学
重力の影響範囲 共通重心 （重心） ヒル球 摂動 作用圏（重力圏）
多体の場合 ラグランジュ点 (ハロー軌道) リサジュー軌道 リアプノフ安定
航空宇宙工学
宇宙機の設計 ペイロード比 （ペイロード） 質量比 推進剤重量比 ツィオルコフスキーの公式
重力の利用 スイングバイ パワードスイングバイ
表 話 編 歴

軌道力学ないし天体力学において双曲線軌道(hyperbolic trajectory)とは、ケプラー軌道の中で離心率が1よりも大きい軌道を指す。通常、この軌道上を運動する物体は中心天体に対して無限に遠ざかる。

放物線軌道と同様、双曲線軌道もまた脱出軌道である。ただし、双曲線軌道上をとる物体の軌道エネルギーは０より大きい（放物線軌道では0）、つまり、無限遠で運動エネルギーを失う放物線軌道と異なり無限遠でも運動エネルギーを有する。

軌道の表現

2次曲線は焦点を原点とする極座標 (r, φ) により

${\displaystyle r={\frac {L}{1+e\cos \phi }}}$

で表される。離心率が e > 1 である双曲線の場合は、cos φ = −1/e、あるいは tan φ = ±√(e² − 1) において分母がゼロとなるため、φ → ±arctan √(e² − 1) において焦点からの距離が r → ∞ となる。

双曲線において長半径に相当するパラメータは、楕円と同じく

${\displaystyle a={\frac {L}{1-e^{2}}}<0}$

と定義して負のパラメータに選ぶ場合と、符号を変えて

${\displaystyle a=\left|{\frac {L}{1-e^{2}}}\right|={\frac {L}{e^{2}-1}}>0}$

と定義して正のパラメータに選ぶ場合の2通りの選び方がある。以降では前者を採用する。

真近点角 φ = 0 のとき、近点距離

${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {L}{1+e}}=|a|(e-1)=a(1-e)}$

となる。

無限遠点での速さ

双曲線軌道における、中心天体から無限に離れた地点での速さ(${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$)は、エネルギー保存則より、

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\mu \over {-a}}}\,\!}$

ここで

• ${\displaystyle \mu \,\!}$ は 中心天体の重力定数
• ${\displaystyle a\,\!}$ は双曲線の軌道長半径に-1を掛けたもの

を表す。

${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$は(単位質量あたりの)軌道エネルギーと以下の式により一意に関係付けられる。

${\displaystyle 2\epsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}\,\!}$

ここで、

• ${\displaystyle \epsilon \,\!}$は(単位質量あたりの)軌道エネルギー
• ${\displaystyle C_{3}\,}$は特性エネルギー

を表す。

軌道速度

双曲線軌道において、軌道速度 (${\displaystyle v\,}$)は以下の通り計算される。

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}}\right)}}}$

ここで

• ${\displaystyle \mu \,}$ は中心天体の重力定数
• ${\displaystyle r\,}$は中心天体からの距離,
• ${\displaystyle a\,\!}$は双曲線の軌道長半径に-1を掛けたもの

を表す。

関連項目

• 軌道
• 人工衛星の軌道

外部リンク

• https://web.archive.org/web/20081008041919/http://homepage.mac.com/sjbradshaw/msc/traject.html
• http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html