回転楕円体

回転楕円体（扁球）
回転楕円体（長球）

回転楕円体（かいてんだえんたい、spheroid）は、楕円をその長軸または短軸を回転軸として得られる回転体をいう。あるいは、3径のうち2径が等しい楕円体とも定義できる。

回転楕円体は「地球の形」を近似するのに用いられるために重要であり、この回転楕円体を地球楕円体 (Earth ellipsoid) と呼ぶ。様々な地球楕円体のうち、個々の測地系が準拠すべき地球楕円体を特に準拠楕円体 (reference ellipsoid) と呼ぶ。

用語

3径のうち等しい2径の半径を赤道半径、残りの1つを極半径という。言い換えれば、元の楕円の2径のうち回転軸となった半径が極半径、他方が赤道半径である。

赤道半径のほうが長い、つまり短軸が回転軸となった回転楕円体を扁球・扁楕円体・扁平楕円体 (oblate, oblate spheroid) という。極半径のほうが長い、つまり長軸が回転軸となった回転楕円体を長球・長楕円体・扁長楕円体 (prolate, prolate spheroid) という。

赤道半径と極半径が等しい回転楕円体は、球である。球は、円をその直径を回転軸とした回転体で、3径が全て等しい楕円体である。

回転楕円体の表面を回転楕円面という。

性質

赤道半径を a、極半径を b とする。なお回転楕円体の半径はこのように表すことが多いが、楕円の長半径を a、短半径を b と表すと紛らわしいので注意が必要である。

回転楕円体は直交座標を使えば

( x a ) 2 + ( y a ) 2 + ( z b ) 2 ≤ 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{b}}\right)^{2}\leq 1}

と定義できる。回転楕円面なら不等号が等号になる。

体積は

4 3 π a 2 b {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi a^{2}b}

である。

表面積は、一般の楕円体より簡単で、積分をせずに求めることができる。ただし長球と扁球では公式が異なり、扁球は

2 π ( a 2 + b 2 tanh − 1 ⁡ e e ) if  a > b {\displaystyle 2\pi \left(a^{2}+{\frac {b^{2}\tanh ^{-1}e}{e}}\right)\quad {\mbox{if }}a>b}

長球は

2 π ( a 2 + a b Sin − 1 ⁡ e e ) if  b > a {\displaystyle 2\pi \left(a^{2}+{\frac {ab\operatorname {Sin} ^{-1}e}{e}}\right)\quad {\mbox{if }}b>a}

である。e は離心率で、長半径を α = max(a, b)、短半径を β = min(a, b) とすると

e = 1 − ( β α ) 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)^{2}}}}

である。

回転楕円体に基づく座標系

下記の種類がある。

関連項目

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