慣性モーメント

古典力学
F = d d t ( m v ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})}
運動の第2法則
歴史（英語版）
分野

静力学  · 動力学 / 物理学における動力学  · 運動学  · 応用力学  · 天体力学  · 連続体力学  · 統計力学

定式化
基本概念

空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理

主要項目

剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度

科学者

ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

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慣性モーメント
量記号 I
次元 L2 M
種類 2階テンソル
SI単位 kg m2
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慣性モーメント（かんせいモーメント、英: moment of inertia）あるいは慣性能率（かんせいのうりつ）、イナーシャ I とは、物体の角運動量 L と角速度 ω との間の関係を示す量である。

定義

質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル ω で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル L は次のように書ける。

L = ∑ i m i ( r i × ( ω × r i ) ) = ∑ i m i ( ω r i 2 − r i ( r i ⋅ ω ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))} [1]

ここでmi は i 番目の質点の質量、ri は回転軸上の原点との相対座標でありriはその大きさである。この式からわかるように、L は ω と向きは必ずしも一致しないが、ω を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をIとすると、

L = I ω {\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {\omega }}}

と表せる。この変換 I は2階のテンソルであり、LとIの各成分は

L j = ∑ k = 1 3 I j k ω k I j k = ∑ i m i ( r i 2 δ j k − r i , j r i , k ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}}

という形に表される[2]。ここに δjk はクロネッカーのデルタ、ri, j はベクトル ri の j 成分である。I を行列表示すると

I = ∑ i ( m i ( r i 2 − x i 2 ) − m i x i y i − m i x i z i − m i y i x i m i ( r i 2 − y i 2 ) − m i y i z i − m i z i x i − m i z i y i m i ( r i 2 − z i 2 ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}}

となる。この定義から I は対称テンソルである。この2階のテンソル I を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ[2]。また、慣性テンソルの対角成分 Ixx、Iyy、Izz を（それぞれ x、 y、 z 軸に関する）慣性モーメント係数（英: moment of inertia coefficient）と呼び、 Ixy、Iyz、Izx は 慣性乗積（英: products of inertia）と呼ぶ[3]。

なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 ρ を用いて

I j k = ∫ ρ ( x ) ( | x | 2 δ j k − x j x k ) d 3 x {\displaystyle I_{jk}=\int \rho ({\boldsymbol {x}})\left(|{\boldsymbol {x}}|^{2}\delta _{jk}-x_{j}x_{k}\right)d^{3}x}

となる[4]。

ある軸まわりの慣性モーメント

物体をある回転軸まわりに回転させたとき、ωと同じ向きをもつ単位ベクトルnをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。

n ⋅ L = n ⋅ ( I ω n ) = n ⋅ ( I n ) ω ≡ I ω {\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}\omega {\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})\omega \equiv I\omega }

ここで、ω = |ω|は角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー量 I = n ⋅ ( I n ) = ∑ i m i ( r i 2 − ( r i ⋅ n ) 2 ) {\displaystyle I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})} をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ[5]。

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 { e1, e2, e3 } を選ぶことで対角化（すなわち Ixy = Iyz = Izx = 0 と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント { I1, I2, I3 } を主慣性モーメントと呼ぶ[6]。慣性主軸座標系では角運動量は

( L 1 L 2 L 3 ) = ( I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 ) ( ω 1 ω 2 ω 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}}

と単純に表すことができる。

計算例

棒の両端の質量

重さの無視できる長さ L の棒の両端に、質量 m 、M の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ a、L - a とする。このとき、中心に対する慣性モーメント I は、

I = m a 2 + M ( L − a ) 2 = ( m + M ) ( a − M m + M L ) 2 + m M m + M L 2 {\displaystyle I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}}

と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。

円板

半径 a 、全質量 M の、一様な密度 ρ = M / πa2 をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは

I = 1 2 a 2 M {\displaystyle I={\frac {1}{2}}a^{2}M}

となる。

これは中心から半径 r 、幅 dr << r のリングの質量 dM を考えると

d M = 2 π r ρ d r {\displaystyle \mathrm {d} M=2\pi r\rho \mathrm {d} r}

より、このリングの慣性モーメント dI が

d I = r 2 d M = 2 π ρ r 3 d r {\displaystyle \mathrm {d} I=r^{2}\mathrm {d} M=2\pi \rho r^{3}\mathrm {d} r}

だから

I = ∫ 0 a d I = 2 π ρ ∫ 0 a r 3 d r = 1 2 ρ π a 4 {\displaystyle I=\int _{0}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho \int _{0}^{a}r^{3}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi a^{4}}

より求めることができる。

リング状円板

円板外半径 a 、くり抜き内半径 b 、全質量 M のリング状円板では、前出の dI を用いて

I = ∫ b a d I = 2 π ρ 1 4 ( a 4 − b 4 ) = 1 2 π ρ ( a 2 − b 2 ) ( a 2 + b 2 ) = 1 2 ( a 2 + b 2 ) M {\displaystyle I=\int _{b}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho {\frac {1}{4}}(a^{4}-b^{4})={\frac {1}{2}}\pi \rho (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})M}

となる。

性質

一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。

また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 IG をとり、軸が重心から距離 h だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント Ih は

I h = I G + M h 2 {\displaystyle I_{h}=I_{\mathrm {G} }+Mh^{2}}

となる[7]。

詳細は「平行軸の定理」を参照

慣性テンソル I の物体が角速度 ω で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー T は

T = 1 2 ∑ j k I j k ω j ω k {\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{jk}I_{jk}\omega _{j}\omega _{k}}

と表示できる[8]。

関連する物理量

回転半径
慣性モーメント I は物体の質量 M に比例するから、
I = M κ 2 {\displaystyle I=M\kappa ^{2}}
と書くことができる。この κ は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる[7]。
はずみ車効果
慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径 D を用いて定義されるはずみ車効果 GD2 がある。
  • 重力単位系では、剛体の重量 G[kgf] と直径 D[m] を用いた量 GD2 をはずみ車効果と呼び、単位は [kgf m2] である。慣性モーメント I とは次元が異なり、GD2 = 4gI で換算する（g は重力加速度）[9][10][11]。
  • 国際単位系では、剛体の質量 G[kg]と直径 D[m] を用いた量 GD2 をはずみ車効果と呼び、単位は [kg m2] である。慣性モーメント I と、GD2 = 4I で換算する[12][13][14][15][16]。

応用

工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。

脚注

[脚注の使い方]
  1. ^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 248) 式(5-2)
  2. ^ a b (ゴールドシュタイン 1983, p. 254)
  3. ^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 249)
  4. ^ (ランダウ & リフシッツ 1986, p. 124)
  5. ^ (ゴールドシュタイン 1983, p. 255) 式 (5-19)
  6. ^ (ランダウ & リフシッツ 1986, pp. 124–125)
  7. ^ a b (戸田 1982, pp. 167–175)
  8. ^ (ランダウ & リフシッツ 1986, pp. 122–124)
  9. ^ 谷腰欣司『小型モーターのしくみ』電波新聞社、2004年、24頁。ISBN 4-88554-775-X。 
  10. ^ 堀野正俊『機械力学入門』理工学社、1990年、97頁。ISBN 4-8445-2253-1。 
  11. ^ 谷腰欣司『小型モータとその使い方』日刊工業新聞社、1987年、21頁。ISBN 4-526-02147-4。 
  12. ^ 電気学会 電気規格調査会 標準規格『JEC-2130　同期機』電気書院、2016年、8頁。 
  13. ^ 日本工業標準調査会『JIS B 0119 水車及びポンプ水車用語』日本規格協会、2009年。 
  14. ^ 電気設備学会編『電気設備用語辞典』オーム社、2008年。ISBN 978-4-274-20962-8。 
  15. ^ モータ技術用語辞典編集委員会編『モータ技術用語辞典』日刊工業新聞社、2002年、52頁。ISBN 4-526-05034-2。 
  16. ^ 電気用語辞典編集委員会編『電気用語辞典』コロナ社、1997年、643頁。ISBN 4-339-00411-1。 

参考文献

関連項目

回転運動と並進運動の対応一覧
量 回転運動 並進運動
力学変数 角度 θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} 位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}}
一階微分 角速度 ω = d θ d t {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}} 速度 v = d r d t {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}}
二階微分 角加速度 α = d ω d t {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}} 加速度 a = d v d t {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}}
慣性 慣性モーメント I {\displaystyle I} 質量 m {\displaystyle m}
運動量 角運動量 L = r × p {\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}} 運動量 p = m v {\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}
力 力のモーメント N = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}} 力 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
運動方程式 d L d t = N {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}} d p d t = F {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}}
運動エネルギー 1 2 I ω 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}I\omega ^{2}} 1 2 m v 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}
仕事 N ⋅ Δ θ {\displaystyle {\boldsymbol {N}}\cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}} F ⋅ Δ r {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}}
仕事率 N ⋅ ω {\displaystyle {\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}} F ⋅ v {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}}
ダンパーとばねに発生する力を
考慮した運動方程式 		I α + c ω + k θ = N {\displaystyle I\alpha +c\omega +k\theta =N} m a + c v + k x = F {\displaystyle ma+cv+kx=F}
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線形・直線運動の量 角度・回転運動の量
次元 — L L2 次元 — — —
T 時間: t
s		 absement: A
m s（英語版）		 T 時間: t
s
— 距離: d, 位置: r, s, x, 変位
m		 面積: A
m2		 — 角度: θ, 角変位（英語版）: θ
rad		 立体角: Ω
rad2, sr
T−1 周波数: f
s−1, Hz		 速さ（速度の大きさ）: v, 速度: v
m s−1		 動粘度: ν,
比角運動量（英語版）: h
m2 s−1		 T−1 周波数: f
s−1, Hz		 角速度（の大きさ）: ω, 角速度: ω
rad s−1
T−2 加速度: a
m s−2		 T−2 角加速度: α
rad s−2
T−3 躍度: j
m s−3		 T−3 角躍度: ζ
rad s−3
M 質量: m
kg		 M L2 慣性モーメント: I
kg m2
M T−1 運動量: p, 力積: J
kg m s−1, N s（英語版）		 作用: 𝒮, actergy: ℵ
kg m2 s−1, J s（英語版）		 M L2 T−1 角運動量: L, 角力積: ΔL
kg m2 s−1		 作用: 𝒮, actergy: ℵ
kg m2 s−1, J s
M T−2 力: F, 重さ: Fg
kg m s−2, N		 エネルギー: E, 仕事: W
kg m2 s−2, J		 M L2 T−2 トルク: τ, 力のモーメント: M
kg m2 s−2, N m		 エネルギー: E, 仕事: W
kg m2 s−2, J
M T−3 yank: Y
kg m s−3, N s−1		 仕事率: P
kg m2 s−3, W		 M L2 T−3 rotatum: P
kg m2 s−3, N m s−1		 仕事率: P
kg m2 s−3, W
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Glossary of tensor theory（英語版）
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数学
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算法
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