正四面体

正四面体
種別	正多面体、デルタ多面体、四面体
面数	4
面形状	正三角形
辺数	6
頂点数	4
頂点形状	3, 3, 3 33
シュレーフリ記号	{3, 3}
ワイソフ記号	3 | 2 3 | 2 2 2
対称群	Td
双対多面体	自己双対
特性	凸集合
展開図
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正四面体（せいしめんたい、せいよんめんたい、英: regular tetrahedron）とは、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。

最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。

なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。

性質

• 面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。また、パスカルの三角形の第5段の2～4番目の数字でもある。
• 頂点形状は正三角形であり、3本の辺と3枚の正三角形が集まる。これらはパスカルの三角形の第4段の2、3番目の数字である。
• 自らと双対である（自己双対多面体）。
• 対角線は存在しない。
• ペトリー多角形は正方形である。
• 立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
• 正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。このとき4個の正四面体ができる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。
• 展開図は2通りあり、一方は正三角形、もう一方は平行四辺形になる。
• 単独で空間充填は出来ないが、正八面体と組み合わせた空間充填は可能である。

対称性

対称性は、

• 中心と頂点を通る直線について3回対称
• 中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称（2回対称）
• 中心と辺を通る面について面対称

などである。

計量

辺の長さを ${\displaystyle a\,}$ とする。

面の面積	${\displaystyle A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}}$	${\displaystyle \approx 0.433012702a^{2}}$
表面積	${\displaystyle S=4A={\sqrt {3}}a^{2}}$	${\displaystyle \approx 1.732050808a^{2}}$
高さ	${\displaystyle h={\frac {\sqrt {6}}{3}}a}$	${\displaystyle \approx 0.816496581a}$
体積	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}}$	${\displaystyle \approx 0.117851130a^{3}}$
辺と面のなす角	${\displaystyle \tan ^{-1}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \approx 54.735610^{\circ }}$
二面角	${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {1}{3}}=\tan ^{-1}{\sqrt {8}}}$	${\displaystyle \approx 70.528779^{\circ }}$
中心と頂点を結ぶ直線のなす角	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sin ^{-1}{\frac {1}{3}}=2\tan ^{-1}{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle \approx 109.471221^{\circ }}$
頂点の立体角	${\displaystyle 3\cos ^{-1}{\frac {1}{3}}-\pi =\cos ^{-1}{\frac {23}{27}}}$	${\displaystyle \approx 0.551285598\ \mathrm {sr} }$
外接球（頂点を通る球）の半径	${\displaystyle R={\sqrt {\frac {3}{8}}}a}$	${\displaystyle \approx 0.612372436a}$
内接球（面と接する球）の半径	${\displaystyle r={1 \over 3}R={1 \over {\sqrt {24}}}a}$	${\displaystyle \approx 0.204124145a}$
中接球（辺と接する球）の半径	${\displaystyle r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={1 \over {\sqrt {8}}}a}$	${\displaystyle \approx 0.353553391a}$
傍接球の半径	${\displaystyle r_{\mathrm {E} }={1 \over {\sqrt {6}}}a}$	${\displaystyle \approx 0.408248290a}$
頂点から傍心（傍接球の中心）までの距離	${\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}a}$	${\displaystyle \approx 1.224744871a}$

正四面体から作られる図形

• 
  正六面体
  （切稜する）
• 
  切頂四面体
  （切頂する）
• 
  正八面体
  （更に深く切頂する）
• 
  切頂八面体
  （頂点と辺を削る）
• 
  立方八面体
  （Expansionを行う）
• 
  正二十面体
  （各面をねじる）
• 
  星型八面体
  （2つを複合させる）
• 
  5個の正四面体による複合多面体
• 
  10個の正四面体による複合多面体
• 
  デルタ六面体
  （2つを貼り合わせる）
• 
  正三角錐柱
  （角柱を追加）
• 
  正四角錐
  （角の数を増やす）
• 
  側錐三側錐欠損二十面体
  （三側錐欠損二十面体を追加）
• 
  三方四面体
  （各面の中心を持ち上げる）
• 
  正六面体
  （各面の中心を更に持ち上げる）
• 
  四方六面体
  （各面と各辺の中心を持ち上げる）
• 
  菱形十二面体
  （各面と各辺の中心を、四角形に分かれるように持ち上げる）
• 
  正十二面体
  （各頂点をねじる）
• 
  正四面体リング
  （輪状に並べる）
• 
  正五胞体
  （5つを4次元空間内で貼り合わせる）
• 
  正十六胞体
  （16個を4次元空間内で貼り合わせる）
• 
  正六百胞体
  （600個を4次元空間内で貼り合わせる）

外部リンク

• Jackson, Frank and Weisstein, Eric W. [in 英語]. "Regular Tetrahedron". mathworld.wolfram.com (英語).

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表 話 編 歴 多面体
一様多面体	正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 半正多面体 切頂四面体 切頂六面体 切頂八面体 切頂十二面体 切頂二十面体 立方八面体 二十・十二面体 斜方立方八面体 斜方二十・十二面体 斜方切頂立方八面体 斜方切頂二十・十二面体 変形立方体 変形十二面体 星型正多面体 小星型十二面体 大十二面体 大星型十二面体 大二十面体 その他 八面半八面体 四面半六面体 小立方立方八面体 大立方立方八面体 立方半八面体 立方切頂立方八面体 一様大斜方立方八面体 小斜方六面体 星型切頂六面体 大切頂立方八面体 大斜方六面体 小二重三角二十・十二面体 小二十・二十・十二面体 小変形二十・二十・十二面体 小十二・二十・十二面体 十二・十二面体 切頂大十二面体 斜方十二・十二面体 小斜方十二面体 変形十二・十二面体 二重三角十二・十二面体 大二重三角十二・二十・十二面体 小二重三角十二・二十・十二面体 二十・十二・十二面体 二十面切頂十二・十二面体 変形二十・十二・十二面体 大二重三角二十・十二面体 大二十・二十・十二面体 小二十面半十二面体 小十二・二十面体 小十二面半十二面体 大二十・十二面体 切頂大二十面体 斜方二十面体 大変形二十・十二面体 小星型切頂十二面体 切頂十二・十二面体 逆変形十二・十二面体 大十二・二十・十二面体 小十二面半二十面体 大十二・二十面体 大変形十二・二十・十二面体 大十二面半二十面体 大星型切頂十二面体 一様大斜方二十・十二面体 大切頂二十・十二面体 大逆変形二十・十二面体 大十二面半十二面体 大二十面半十二面体 小反屈変形二十・二十・十二面体 大斜方十二面体 大反屈変形二十・十二面体 大二重斜方二十・十二面体
カタランの立体	三方四面体 三方八面体 四方六面体 三方二十面体 五方十二面体 菱形十二面体 菱形三十面体 凧形二十四面体 凧形六十面体 六方八面体 六方二十面体 五角二十四面体 五角六十面体
ジョンソンの立体	正四角錐 正五角錐 正三角台塔 正四角台塔 正五角台塔 正五角丸塔 正三角錐柱 正四角錐柱 正五角錐柱 正四角錐反柱 正五角錐反柱 双三角錐 双五角錐 双三角錐柱 双四角錐柱 双五角錐柱 双四角錐反柱 正三角台塔柱 正四角台塔柱 正五角台塔柱 正五角丸塔柱 正三角台塔反柱 正四角台塔反柱 正五角台塔反柱 正五角丸塔反柱 異相双三角柱 同相双三角台塔 同相双四角台塔 異相双四角台塔 同相双五角台塔 異相双五角台塔 同相五角台塔丸塔 異相五角台塔丸塔 同相双五角丸塔 同相双三角台塔柱 異相双三角台塔柱 異相双四角台塔柱 同相双五角台塔柱 異相双五角台塔柱 同相五角台塔丸塔柱 異相五角台塔丸塔柱 同相双五角丸塔柱 異相双五角丸塔柱 双三角台塔反柱 双四角台塔反柱 双五角台塔反柱 五角台塔丸塔反柱 双五角丸塔反柱 側錐三角柱 二側錐三角柱 三側錐三角柱 側錐五角柱 二側錐五角柱 側錐六角柱 双側錐六角柱 二側錐六角柱 三側錐六角柱 側錐十二面体 双側錐十二面体 二側錐十二面体 三側錐十二面体 二側錐欠損二十面体 三側錐欠損二十面体 側錐三側錐欠損二十面体 側台塔切頂四面体 側台塔切頂立方体 双側台塔切頂立方体 側台塔切頂十二面体 双側台塔切頂十二面体 二側台塔切頂十二面体 三側台塔切頂十二面体 側台塔回転斜方二十・十二面体 双側台塔回転斜方二十・十二面体 二側台塔回転斜方二十・十二面体 三側台塔回転斜方二十・十二面体 側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転欠損斜方二十・十二面体 二側台塔回転側台塔欠損斜方二十・十二面体 双側台塔欠損斜方二十・十二面体 二側台塔欠損斜方二十・十二面体 側台塔回転二側台塔欠損斜方二十・十二面体 三側台塔欠損斜方二十・十二面体 変形双五角錐 変形四角反柱 球形屋根 側錐球形屋根 長球形屋根 広底長球形屋根 五角錐球形屋根 双三日月双丸塔 三角広底球形屋根丸塔
ゾーン多面体	平行六面体 菱形十二面体第2種 菱形二十面体 菱形九十面体 長菱形十二面体
星型多面体	小三角六辺形二十面体 完全二十面体 星型八面体
ねじれ正多面体	四角六片四角孔ねじれ正多面体 六角四片四角孔ねじれ正多面体 六角六片三角孔ねじれ正多面体
面の数による分類	二面体 四面体 五面体 六面体 七面体 八面体 十面体 十二面体 十四面体 二十面体 二十四面体 三十面体 四十八面体 六十面体 百二十面体
その他	角錐 角柱 双角錐 反角柱 ねじれ双角錐 プリズマトイド（英語版） 擬大斜方立方八面体 大二重変形二重斜方十二面体 切稜立方体 穿孔多面体 ダ・ヴィンチの星 正四面体リング 凸多面体 凹多面体 双対多面体 複合多面体 平面充填形