百八十角形

百八十角形（ひゃくはちじゅうかくけい、ひゃくはちじゅうかっけい）は、多角形の一つで、180本の辺と180個の頂点を持つ図形である。内角の和は32040°、対角線の本数は15930本である。

正百八十角形

正百八十角形においては、中心角と外角は2°で、内角は178°となる。一辺の長さが a の正百八十角形の面積 S は

S = 45 a 2 cot ⁡ π 180 {\displaystyle S=45a^{2}\cot {\frac {\pi }{180}}}
関係式
x 1 = 2 cos ⁡ 2 π 180 + 2 cos ⁡ 122 π 180 + 2 cos ⁡ 118 π 180 = 0 x 2 = 2 cos ⁡ 26 π 180 + 2 cos ⁡ 146 π 180 + 2 cos ⁡ 94 π 180 = 0 x 3 = 2 cos ⁡ 14 π 180 + 2 cos ⁡ 134 π 180 + 2 cos ⁡ 106 π 180 = 0 x 4 = 2 cos ⁡ 178 π 180 + 2 cos ⁡ 58 π 180 + 2 cos ⁡ 62 π 180 = 0 x 5 = 2 cos ⁡ 98 π 180 + 2 cos ⁡ 142 π 180 + 2 cos ⁡ 22 π 180 = 0 x 6 = 2 cos ⁡ 166 π 180 + 2 cos ⁡ 46 π 180 + 2 cos ⁡ 74 π 180 = 0 x 7 = 2 cos ⁡ 34 π 180 + 2 cos ⁡ 86 π 180 + 2 cos ⁡ 154 π 180 = 0 x 8 = 2 cos ⁡ 82 π 180 + 2 cos ⁡ 38 π 180 + 2 cos ⁡ 158 π 180 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{180}}+2\cos {\frac {122\pi }{180}}+2\cos {\frac {118\pi }{180}}=0\\&x_{2}=2\cos {\frac {26\pi }{180}}+2\cos {\frac {146\pi }{180}}+2\cos {\frac {94\pi }{180}}=0\\&x_{3}=2\cos {\frac {14\pi }{180}}+2\cos {\frac {134\pi }{180}}+2\cos {\frac {106\pi }{180}}=0\\&x_{4}=2\cos {\frac {178\pi }{180}}+2\cos {\frac {58\pi }{180}}+2\cos {\frac {62\pi }{180}}=0\\&x_{5}=2\cos {\frac {98\pi }{180}}+2\cos {\frac {142\pi }{180}}+2\cos {\frac {22\pi }{180}}=0\\&x_{6}=2\cos {\frac {166\pi }{180}}+2\cos {\frac {46\pi }{180}}+2\cos {\frac {74\pi }{180}}=0\\&x_{7}=2\cos {\frac {34\pi }{180}}+2\cos {\frac {86\pi }{180}}+2\cos {\frac {154\pi }{180}}=0\\&x_{8}=2\cos {\frac {82\pi }{180}}+2\cos {\frac {38\pi }{180}}+2\cos {\frac {158\pi }{180}}=0\\\end{aligned}}}

三次方程式の係数を求めると

2 cos ⁡ 2 π 180 ⋅ 2 cos ⁡ 122 π 180 + 2 cos ⁡ 122 π 180 ⋅ 2 cos ⁡ 118 π 180 + 2 cos ⁡ 118 π 180 ⋅ 2 cos ⁡ 2 π 180 = − 3 2 cos ⁡ 2 π 180 ⋅ 2 cos ⁡ 122 π 180 ⋅ 2 cos ⁡ 118 π 180 = 2 cos ⁡ 2 π 60 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {122\pi }{180}}+2\cos {\frac {122\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {118\pi }{180}}+2\cos {\frac {118\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{180}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {122\pi }{180}}\cdot 2\cos {\frac {118\pi }{180}}=2\cos {\frac {2\pi }{60}}\\\end{aligned}}}

解と係数の関係より

u 3 − 3 u − 2 cos ⁡ 2 π 60 = 0 {\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{60}}=0}

三次方程式を解くと

u 1 = 2 cos ⁡ 2 π 180 = cos ⁡ 2 π 60 + i sin ⁡ 2 π 60 3 + cos ⁡ 2 π 60 − i sin ⁡ 2 π 60 3 4 cos ⁡ 2 π 180 = 8 cos ⁡ 2 π 60 + i 8 sin ⁡ 2 π 60 3 + 8 cos ⁡ 2 π 60 − i 8 sin ⁡ 2 π 60 3 4 cos ⁡ 2 π 180 = 10 − 20 + 3 + 15 + i ⋅ ( 30 − 180 − 5 − 1 ) 3 + 10 − 20 + 3 + 15 − i ⋅ ( 30 − 180 − 5 − 1 ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{60}}+i\sin {\frac {2\pi }{60}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{60}}-i\sin {\frac {2\pi }{60}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{60}}+i8\sin {\frac {2\pi }{60}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{60}}-i8\sin {\frac {2\pi }{60}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{180}}=&{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+i\cdot ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1)}}+{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-i\cdot ({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1)}}\\\end{aligned}}}

cos ⁡ ( 2 π / 180 ) {\displaystyle \cos(2\pi /180)} を平方根と立方根で表すと

cos ⁡ 2 π 180 = 1 4 10 − 20 + 3 + 15 + ( 30 − 180 − 5 − 1 ) i 3 + 1 4 10 − 20 + 3 + 15 − ( 30 − 180 − 5 − 1 ) i 3 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{180}}={\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+\left({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)i}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-\left({\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)i}}}

正百八十角形の作図

正百八十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正百八十角形は折紙により作図可能である。

脚注

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関連項目

外部リンク

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