超立方体

超立方体（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、2次元の正方形、3次元の立方体、4次元の正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は点、1次元超立方体は線分である。

正測体（せいそくたい）、γ体（ガンマたい）とも言い、n 次元超立方体を $\gamma _{n}$ と書く。

正単体、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。

単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。

右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。

作図

超立方体を作図するには、

$(\pm 1,\pm 1,\cdots ,\pm 1)$

を頂点とし、最も近い（距離2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。

こうして作図された超立方体は、n 次元ユークリッド空間を $\mathbb {R} ^{n}$ で表して

$\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{\infty }\leq 1\}$

でも定義できる。

性質

特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元超立方体について述べる。

超体積は

$a^{n}\,$

超表面積は

$2na^{n-1}\,$

である。

ファセット (n - 1 次元面) は n - 1 次元超立方体である。したがって一般に、m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面は m 次元超立方体である。たとえば、正八胞体（4次元超立方体）の面（2次元面）は正方形（2次元超立方体）、胞（3次元面）は立方体（3次元超立方体）である。

対角線の長さは、

${\sqrt {n}}a\,$

である。

m 次元面の個数は

$2^{n-m}{}_{n}\operatorname {C} _{m}$

である。これはパスカルのピラミッド（英語版）の第 n + 1 段の三角形の第 m + 1 段（頂点を下にした場合）の数字の総和に等しい。対角線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、 $3^{n}=(1+2)^{n}$ を二項展開し、 $3^{n}=(1+1+1)^{n}$ を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は $2^{n}$ 個、辺（1次元面）は $2^{n-1}n$ 個、ファセットは $2n$ 個である。 ${}_{n}\operatorname {C} _{m}$ はパスカルの三角形の第 n + 1 段の m + 1 番目の数字であり、n - 1 次元単体の m - 1 次元面の個数である。

m (0 ≤ m ≤ n - 2) 次元面に集まるl (m + 1 ≤ l ≤ n - 1) 次元面の個数は

${}_{n-m}\operatorname {C} _{l-m}$

である。これはパスカルの三角形の第 n - m + 1 段の l - m + 1 番目の数字であり、n - m - 1 次元単体の l - m - 1 次元面の個数である。

双対は正軸体である。

任意の l 次元面と m 次元面（l ≠ m でもよい）は、接する場合直交し、それ以外は直角（ねじれの位置で）か平行である。特に、隣り合うファセットは直交し、それ以外のファセットは平行である。また、頂点には n 本の辺が集まり、互いに直交する。

表話編歴次元
定義	相似次元容量次元位相次元ハウスドルフ次元ミンコフスキー次元フラクタル次元
整数次元	0次元 1次元 2次元 3次元 4次元 5次元 6次元 (6DoF) 7次元 8次元 9次元 10次元 11次元
ポリトープ	超平面超曲面超立方体超直方体超球面超矩形半超立方体正軸体単体多胞体
その他	座標軸測度論 2.5次元フラクタル幾何自由度
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